Curso 2013-14
Cálculo y Métodos Numéricos
| Titulación: | Código: | Tipo: |
| Grado en Ingeniería Informática | 21403 | Básica 1º curso |
| Grado en Ingeniería Telemática | 21295 | Básica 1º curso |
| Grado en Ingeniería en Sistemas Audiovisuales | 21592 | Básica 1º curso |
| Créditos ECTS: | 8 | Dedicación: | 200 horas | Trimestre: | 1º y 2º |
| Departamento: | Dpto. de Tecnologías de la Información y las Comunicaciones |
| Coordinador: | Gloria Haro |
| Profesorado: | Xènia Albà, Anna Carreras, Mariella Dimiccoli, Armin Duff, José Maria Esnaola, Àngel Garcia, Gloria Haro, Maria Oliver, Roberto Pérez, Jordi Taixés. |
| Idioma: | Xènia Albà (catalán), Anna Carreras (catalán), Mariella Dimiccoli (castellano), Armin Duff, José Maria Esnaola (castellano), Àngel Garcia (catalán), Gloria Haro(catalán), Maria Oliver (catalán), Roberto Pérez (castellano), Jordi Taixés (catalán). |
| Horario: | |
| Campus: | Campus de la Comunicación - Poblenou |
Esta asignatura, junto con la asignatura de Álgebra y Matemática Discreta proporcionará a los estudiantes la base matemática para trabajar los conceptos propios de los estudios de Ingeniería que se irán introduciendo en asignaturas que se cursan en paralelo o posteriormente.
Parte de los conceptos que los estudiantes han trabajado en la programación del Bachillerato y los consolida y amplía.
La asignatura consta de dos partes, que se desarrollarán, respectivamente, en el primero y segundo trimestre. La primera parte está basada en el estudio de funciones de una sola variable mientras que la segunda trata de funciones de varias variables.
En la primera parte, correspondiendo al primer trimestre, se hace una revisión de los conjuntos numéricos haciendo énfasis en el cálculo con números reales y la destreza al trabajar con desigualdades algebraicas y el valor absoluto. Se trabaja la presentación de los conceptos con notación científica propia de una ingeniería, y el análisis y el rigor en la resolución de problemas y en la presentación de la respuesta. Se consolidan los conceptos relativos a funciones reales de variable real introducidos en el Bachillerato y se amplía su alcance: definición de función, dominio, propiedades básicas, límites, estudio de continuidad, derivabilidad e integración. También se introduce el cálculo numérico a través del método de Newton 1-D para encontrar raíces de funciones. Este primer bloque acaba introduciendo las sucesiones y series de números reales y aplicando estos conceptos a la aproximación de funciones suficientemente derivables a través de las series de potencias (desarrollos de Taylor).
La segunda parte, correspondiendo al segundo trimestre, se extiende al contexto de funciones de varias variables muchos de los conceptos vistos en la primera parte. En concreto trabajaremos los siguientes conceptos: definición de función de varias variables reales, dominio, imagen, curvas y trayectorias, superficies, derivación, subespacios tangentes, aproximación local, integración en varias variables. Aplicaremos estos conocimientos a problemas de optimización, es decir, al estudio de extremos libres y condicionados mediante el uso de multiplicadores de Lagrange. En cuanto a métodos numéricos estudiaremos la extensión del método de Newton a varias variables y el método de descenso/ascenso de gradiente para resolver problemas de optimización y sistemas de ecuaciones no lineales.
Consolidar los conocimientos básicos de matemáticas, introducir el lenguaje científico y trabajar el razonamiento riguroso son objetivos básicos de la asignatura. Otro objetivo es que el estudiante conozca el significado intrínseco de los conceptos del cálculo diferencial y sepa aplicarlos a la resolución de problemas concretos, que se presentarán sobre todo en las clases de prácticas y seminarios.
Esta asignatura tiene relación con otras muchas asignaturas del Plan docente de los Estudios de Grado tal como Álgebra Lineal y Matemática Discreta, Probabilidad y procesos estocásticos, Señales y Sistemas, Ondas y Electromagnetismo, Infografía, Ecuaciones Diferenciales, Procesamiento de la Señal, Geometría Computacional, Imagen Sintética, Sistemas de comunicación, Transmisión de Datos y Codificación, Radiocomunicaciones, Procesamiento del habla, Procesamiento de Imágenes, Sistemas de Codificación de Voz y Audio, Sistemas de Codificación de Imagen y Vídeo, Visualización Avanzada, Procesamiento de Vídeo, Procesamiento de Audio en Tiempo Real, Ingeniería Acústica, Ingeniería Óptica, Percepción y Cognición Audiovisual, Acústica Arquitectónica, Circuitos Electrónicos y Medios de Transmisión, Procesamiento de Sonido y Música, Fundamentos Computacionales de los Sistemas Audiovisuales, Análisis e Interpretación de Imágenes, Reconocimiento de Patrones, Audio 3D, Visión Tridimensional, Imagen Sintética.
Esta asignatura presupone una base matemática mínima de nivel de bachiller o de formación profesional. En particular, nociones y procedimientos básicos de cálculo y geometría del plano. Es recomendable que los estudiantes hayan cursado el curso (o tengan el nivel del curso) de introducción a las matemáticas que la ESUP ofrecida el mes de septiembre.
Observación importante: para poder desarrollar el curso es fundamental que los estudiantes sepan resolver ecuaciones e inecuaciones algebraicas y trascendentes (exponenciales, logaritmicas, trigonometricas) y que conozcan los conceptos básicos relativos a las rectas. A principio de la asignatura se hará un breve repaso de estos temas (relacionandolos con la determinación del dominio de funciones). Es imprescindible que los estudiantes tengan una excelente habilidad en la resolución de ecuaciones e inecuaciones y por eso les recomendamos hacer ejercicio con libros de bachillerato o consultando la pagina web del Programa Descartes del Ministerio de Educación.
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Competencias transversales |
Competencias específicas |
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Instrumentales 1. Capacidad de comprender y analizar enunciados matemáticos. 2. Capacidad de identificar la metodología adecuada para analizar un problema y encontrar su solución. 3. Habilidad de expresar ideas y conceptos matemáticos de forma oral y escrita de manera precisa. 4. Capacidad de abstracción. Interpersonales 5. Capacidad de trabajar en equipo tanto para resolver problemas como para profundizar contenidos teóricos. 6. Capacidad de comunicar ideas de forma precisa, tanto de forma oral como escrita. Sistémicas 7. Capacidad de trabajar de forma autónoma para resolver un problema. 8. Capacidad de buscar las soluciones más adecuadas según las características de cada contexto. 9. Capacidad de inferir nociones matemáticas. 10. Acostumbrarse a la comprobación y interpretación de las soluciones, no olvidándose de los casos particulares. |
1. Capacidad de identificar y justificar la aplicación del modelo matemático adecuado para analizar un problema y encontrar su solución. 2. Habilidad de expresar ideas y conceptos matemáticos de forma oral y escrita de manera precisa. 3. Capacidad de entender y saber reproducir demostraciones teóricas. 4. Capacidad de resolver los problemas relativos a límites, derivadas e integrales en una y varias variables, estudio gráfico de funciones de una variable, optimización en una y varias variables. 5. Capacidad de utilizar los métodos numericos presentados para aproximar la solución de problemas que no se pueden resolver de forma analítica |
La nota final (NF) de la asignatura será la media aritmética de las dos partes (trimestres) del curso (NT1 y NT2). La fórmula para calcular la nota final es la siguiente:
- si NT1>=5, NT2>= 5,
NF = 0.5*(NT1 + NT2)
- si no,
NF = min(NT1, NT2)
A continuación explicamos cómo se evalúa cada parte.
Evaluación de cada una de las partes del curso:
Habrá una prueba final en diciembre (o bien marzo si se trata del segundo trimestre) que es imprescindible aprobar con una nota mayor o igual que 5 (sobre la nota máxima de 10) para considerar aprobada cada parte de la asignatura.
La nota de cada trimestre se calcula de la siguiente forma, donde Nc es la nota de la evaluación continuada y Ex. Final es la nota del examen final del trimestre:
- si Ex. Final >= 5,
NTX = max(5, Nc)
- si no,
NTX = Ex. Final
(NT1 será la nota del primer trimestre y NT2 la nota del segundo trimestre)
donde:
Nc = 0.65*Ex. Final + 0.05*Test1 + 0.05*Test2 + 0.2*Parcial + 0.05*Práctica
Las diferentes actividades evaluables que se tienen en cuenta para la nota son:
Ex. Final: Examen final del trimestre que se realizará durante la época de exámenes de diciembre (o marzo si se trata del segundo trimestre). Contendrá preguntas teóricas y ejercicios sobre todos los bloques del trimestre. La actividad es recuperable en julio.
Test1 y Test2: Se trata de dos pruebas de 15 minutos cada una que se realizan en la hora de prácticas de las semanas 4 y 9 (aproximadamente). Cada prueba evaluará conceptos teóricos y se basa tanto en preguntas de respuesta corta como preguntas tipo test. Son actividades no recuperables.
Parcial: Es una prueba parcial a la mitad del trimestre para examinar la preparación teórico-práctica de los estudiantes y consta de ejercicios. Es una actividad no recuperable.
Práctica: La práctica de laboratorio sobre métodos numéricos. Esta práctica es no recuperable.
Primera parte:
Bloque 1.
Tema 1.
Introducción al curso, conjuntos, el concepto de elemento generico de un conjunto, notación matemática, conjuntos numericos, intervalos reales, implicaciones, cuantificadores, demostracción por absurdo.
Tema 2.
Funciones: generalidades, gráfico, propiedades, operaciones algebraicas, composición, inversión, funciones elementales y sus gráficos, operaciones sobre gráficos: traslación, dilatación, simetrias del valor absoluto, cálculo de domínios de funciones (y repaso, contemporaneo, de ecuaciones e inecuaciones algebraicas y trascendentes).
Bloque 2.
Tema 3.
Introducción historica al cálculo diferencial con motivaciones que vienen de la geometria curvilinea y de la mecanica, límites funcionales, límites por la izquierda y derecha, continuidad, infinitos e infinitesimos de orden superior e inferior, límites indeterminados, expresiones asintoticas, limites notables, cálculo de limites de polinomios; Derivación, diferenciación, equivalencia y entre ellas, diferencial, el concepto de linealización local, recta tangente al gráfico de una función en un punto, derivadas de funciones elementales.
Tema 4.
Teorema de Lagrange y de l'Hôpital, ordenes de infinitos e infinitesimos, derivadas de orden superior, concavidad y convexidad, desarrollo de Taylor de una función, aplicación al cálculo de limites en forma indeterminada, estudio gráfico de funciones, el concepto de optimización y ejemplos concretos;
Bloque 3.
Tema 5.
El método de Newton 1-D para la determinación de ceros de funciones, errores en los métodos iterativos, aplicación a la determinación aproximada de puntos notables para el estudio gráfico de una función.
Bloque 4.
Tema 6.
Introdución a las integrales, construcción de Riemann, primitivas, teorema fundamental del calculo y teorema de la media integral. Cálculo de integrales inmediatas, semi-inmediatas, por sustitución y por descomposición en fracciones parciales, aproximación numérica: la fórmula de Cavalieri-Simpson, aplicaciones.
Bloque 5.
Tema 7.
Sucesiones, series numericas, series de Taylor y series de potencias, un ejemplo notable: la serie de Euler y la formula del exponencial complejo. Aplicaciones.
Segunda parte:
Bloque 1.
Tema 1.
Espacio Euclideo real n-dimensional, introducción a las funciones en varias variables y operaciones entre ellas, el concepto de funciones componentes de funciones a valores vectoriales;
Bloque 2.
Tema 2.
Curvas como ejemplo notable de funciones a valores vectoriales, curvas suaves, rectas tangentes y velocidad, longitud de una curva, integral de línea; Superficies como ejemplo notable de funciones de dos variables, curvas de nivel, cónicas y cuádricas.
Bloque 3.
Tema 3.
Cálculo diferencial en varias variables: derivadas parciales, gradiente, derivadas direccionales, teorema del gradiente y direcciones de máximo crecimiento y decrecimiento, plano tangente, matriz Jacobiana, regla de la cadena, derivadas de orden superior, matriz Hessiana, formula de Taylor;
Tema 4.
Optimización en varias variables: extremos libres y vinculados, técnica de los multiplicadores de Lagrange.
Bloque 4.
Tema 5.
Métodos numericos iterativos de Newton n-D y del descenso/ascenso por gradiente: aplicaciones a la resolución aproximada de sistemas no lineales y de problemas de optimización.
Bloque 5.
Tema 6.
Integración en varias variables: integrales dobles y triples, operadores diferenciales divergencia y rotacional, campos vectoriales, aplicaciones.
Durante cada bloque de temas teóricos, se propondrán ejercicios de repaso y de consolidación. La resolución de estos ejercicios servirá al estudiante para testear su comprensión de los argumentos presentados. Las horas de dedicación varían de persona a persona. Durante las horas de seminarios los estudiantes serán invitados a presentar las soluciones de los ejercicios propuestos y a discutir con los docentes las eventuales dudas o dificultades que han tenido durante la resolución de los ejercicios. Consideramos muy importante esta interacción, por lo tanto es importante que los estudiantes vengan con los ejercicios hechos a los seminarios o, si han tenido problemas, con sus intentos de solución. Las horas de practicas serán dedicadas mayoritariamente a ejercicios numericos y a aplicaciones de modelado de problemas reales.
Bibliografia básica:
Apuntes de la primera y la segunda parte de la asignatura.
G. STRANG, Calculus, Wesley-Cambridge Press, 1992, disponible online:
http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm
T.M. APOSTOL: Calculus. Vol 1&2, 2a ed., Editorial Reverte, 1992;
M. SPIVAK: Calculo infinitesimal, 3a ed., Cambridge University Press, 2006.
J E MARSDEN, A J TROMBA: Cálculo Vectorial, 4ª Edición, Addison-Wesley Longman, México, 1998.
F GRANERO: Ejercicios y problemas de cálculo, Toms 1 i 2, Ed Tebar Flores, Madrid, 1991.
Bibliografia complementaria:
G. BARTLE i S. SHERBERT, Introducción al Análisis Matemático de una variable, Ed. Limusa, 1986.
S. THOMPSON, Calculus Made Easy, Macmillan, 1914 (sense copyright, disponible arreu)
R. COURANT and F. JOHN, Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, Ed. Limusa, 1990.
S. LANG, Introducción al Análisis Matemático, Addison-Wesley Iberoamericana, 1990.
DEMIDOVICH, B. Problemas y ejercicios de análisis matemático. Ed. Paraninfo 1993.
R. L. BURDEN, J. D. FAIRES, Análisis numérico, International Thomson, 1998.
J.M. ARNAUDIES et H. FRAYSSE, Analyse, Dunod, 1988.
C. MARTÍNEZ i M. SANZ, Análisis de una variable real, Ed. Reverté, 1992.
J. ORTEGA, Introducció a l'Anàlisi Matemàtica, Manuals de la UAB, 1990.
C. PERELLÓ. Càlcul infinitesimal, Biblioteca Universitària, 21. Enciclopèdia Catalana, 1994.
L V FAUSETT: Applied Numerical Analysis using Matlab, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1999.
SALAS,S.L.; HILLE,E, ETGEN. Calculus Una y varias variables. Vol I i II, 4ª ed. Ed. Reverté, 2005.