Curso 2010-11

Álgebra Lineal i Matemática Discreta (21294)

Titulación/estudio: Grado en Ingeniería en Informática, Grado en Ingeniería Telemática y Grado en Ingeniería de Sistemas Audiovisuales
Curso: primero
Trimestre: primero y segundo
Número de créditos ECTS: 8 créditos
Horas de dedicación del estudiante: 200 horas
Lenuga o lenguas de la docencia: catalán y español
Profesor: Coloma Ballester, Víctor Dalmau, Vanesa Daza, Gabriele Facciolo, Luís Ferraz, Emilia Gómez, Corné Hoogendorn, Vanel Lazcano, Enric Meinhardt y Mohamed Sordo

1. Presentación de la asignatura

La asignatura de Álgebra Lineal y Matemática Discreta es una de las asignaturas de fundamentos matemáticos que se cursa dentro de los estudios del Grado en Ingeniería en Sistemas Audiovisuales, del Grado en Ingeniería Telemática y del Grado en Ingeniería en Informática. En estos grados, la asignatura de Álgebra Lineal y Matemática Discreta se imparte en el primer y segundo trimestres del primer año y es una asignatura Básica, de 8 créditos.

Esta asignatura parte de los conceptos matemáticos que los estudiantes han trabajado en la programación del Bachillerato y los consolida y amplía. Junto con las otras asignaturas de fundamentos matemáticos, proporcionará a los estudiantes las herramientas y la base matemática necesaria para trabajar los conceptos propios de cada grado. En el presente Plan Docente se detallarán las competencias y capacidades a que conduce el aprendizaje de la asignatura, donde paralelamente al desarrollo y estudio de los bloques de contenidos teóricos en que está organizada la asignatura, juegan un papel fundamental los módulos prácticos y las actividades asociadas basadas en ejercicios y problemas, que pretenden consolidar la comprensión de los conceptos y técnicas adquiridas, que se complementan también con algunas prácticas con ordenador.

Álgebra Lineal y Matemática Discreta está dedicada a una introducción al Álgebra Lineal y a una introducción a la Teoría de Grafos y la optimización de flujos en redes. Está estructurada en dos grandes ejes. El primero está enfocado al aprendizaje de: (i) las ideas básicas del álgebra lineal: espacios y subespacios vectoriales, independencia lineal, dimensión, bases, aplicaciones lineales, determinantes, etc., (ii) la solución de sistemas lineales; (iii) valores y vectores propios. La herramienta o idea inicial a partir de la cual se desarrollarán todas estas competencias es la solución de sistemas lineales por el método de eliminación de Gauss.

El segundo eje está dedicado a desarrollar las ideas esenciales de la Teoría de Grafos, con algunas notas de combinatoria y algoritmos de Optimización en Redes de transporte. Contribuye así al aprendizaje de algoritmos importantes en la formación de un ingeniero, como por ejemplo el algoritmo de Dijkstra o el algoritmo de Ford-Fulkerson, y sirve además de complemento a otras asignaturas, entre ellas las del bloque de asignaturas de algorítmica, programación y estructuras de datos. El aprendizaje se plantea desde enfoque práctico, que incluye el estudio de múltiples algoritmos de grafos y prácticas con ordenador.

En esta asignatura se pretende aportar formación matemática y una mayor madurez en la capacidad de razonamiento del estudiante, potenciando así su capacidad de abstracción. La asignatura está enfocada al aprendizaje de un conjunto de capacidades y estrategias que permitan al alumno analizar un problema, buscar un modelo matemático para describirlo, resolverlo y analizar la solución obtenida.

2. Prerrequisitos para el seguimiento del itinerario formativo

Los conocimientos previos que presupone esta asignatura son los propios de una base matemática de nivel de Bachillerato o de Formación Profesional, en particular en cuanto a las nociones y procedimientos básicos de cálculo, geometría y de álgebra lineal se refiere. Además, se espera que los alumnos tengan cierta familiarización con la aritmética de números complejos. Como se trata (junto con Cálculo y Métodos Numéricos) de una de las dos asignaturas de Matemáticas del primer y segundo trimestre del primer curso de los tres grados, se reforzará los conocimientos de los estudiantes que presentan carencias en matemáticas elementales con ejercicios complementarios para conseguir cierta homogeneidad en el nivel de todos los estudiantes.

Para un buen seguimiento del itinerario formativo planificado en esta asignatura, se espera que los estudiantes entiendan que el aprendizaje en esta materia se basa en el trabajo propio y la voluntad de aprender y entender. El aprendizaje de la asignatura reforzará su dominio del lenguaje científico y su razonamiento abstracto. Se a pide los alumnos autoexigencia en los razonamientos y en la elaboración de trabajos, así como capacidad de esfuerzo y una participación constructiva.

3. Competencias que se deben lograr

Competencias transversales

Competencias específicas

Instrumentales
1. Capacidad de comprender y analizar enunciados matemáticos.
2. Capacidad de identificar la metodología adecuada para analizar un problema y encontrar la solución apropiada.
3. Habilidad para expresar idees y conceptos matemáticos de forma oral y escrita con precisión.
4. Capacidad de abstracción.
5. Capacidad de sistematización.

Sistémicas
6. Capacidad de trabajar autónomamente en la resolución de problemas.
7. Capacidad de aprender de los errores propios y de los de los demás.
8. Capacidad de buscar la solución más adecuada en función de las características de cada problema/situación/contexto.
9. Capacidad de inferir nociones matemáticas.

Eje de Álgebra Lineal
1. Entender el álgebra y la geometría básica de los números complejos.
2. Dominar los conceptos de vector y matriz y las operaciones con vectores y matrices.
3. Entender la geometría de los sistemas de ecuaciones lineales.
4. Comprensión y dominio del método de eliminación de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
5. Entender el concepto de base de un espacio vectorial.
6. Comprensión de los cuatro subespacios vectoriales fundamentales.
7. Comprensión del concepto y de la técnica de los cambios de base.
8. Entender y dominar el concepto de ortonormalización de una base, y en particular del método de Gram-Schmidt.
9. Comprensión de las rotaciones y transformaciones básicas.
9. Dominio del concepto de valor y vector propio.
10. Entender el concepto de matriz diagonalizable y el de caso de las matrices simétricas.

Eje de Teoría de Grafos y optimización en redes
11. Familiarizarse con los elementos de la Teoría de Grafos y entenderlos.
12. Dominar los diferentes modelos de grafos, y el concepto de multigrafo.
13. Adquirir el concepto de isomorfismos de grafos.
14. Estudio de las propiedades características de los grafos, como el principio de las manos chocadas.
15. Analizar las diferentes representaciones de grafos en un ordenador.
16. Comprensión del concepto de Árbol.
17. Estudio de diferentes algoritmos de búsqueda en árboles.
18. Dominio del concepto de árbol generador y de algoritmos para hacer cálculos de este tipo.
19. Estudio y dominio de la caracterización de los Grafos Eulerianos.
20. Estudio de los Grafos Hamiltonianos.
21. Dominio de los algoritmos para obtener un circuito euleriano y un ciclo hamiltoniano.
22. Estudio de los caminos de coste mínimo.
23. Estudio del problema del viajante.
24. Entender la coloración de grafos.
25. Comprensión y análisis del caso de los grafos en las redes de comunicaciones.
26.- Comprensión del concepto de conexidad para grafos dirigidos y no dirigidos y sus aplicaciones.
27. Comprensión de la optimización de flujos en redes.
28. Conocer y saber implementar el algoritmo de Ford-Fulkerson para resolver el problema del flujo máximo en una red.

4. Contenidos

4.1. Bloques de contenido

La asignatura está estructurada en cuatro bloques de contenidos para el eje de Álgebra Lineal y cinco bloques de contenido para el eje de Teoría de Grafos y Optimización en Redes:

Eje I: Álgebra Lineal

- Bloque de contenido 1. Resolución de Sistemas de ecuaciones lineales.
- Bloque de contenido 2. Los espacios vectoriales y sus subespacios.
- Bloque de contenido 3. Los espacios vectoriales euclidianos.
- Bloque de contenido 4. Diagonalización.

Eje II: Teoría de Grafos y Optimización en Redes

- Bloque de contenido 5. Elementos de teoría de grafos.
- Bloque de contenido 6. Árboles
- Bloque de contenido 7. Grafos eulerianos y hamiltonianos.
- Bloque de contenido 8. Caminos y ciclos de coste mínimo.
- Bloque de contenido 9. Optimización de flujos en redes.

4.2. Organización y concreción de los contenidos

Bloque de Contenido 1. Resolución de Sistemas de ecuaciones lineales.

Conceptos	Procedimientos
1. Números complejos 2. Funciones. Inversas. Graf de una función. 3. Vectores y Matrices. 4. Ecuaciones lineales. Sistemas. 5. La geometría de los sistemas de ecuaciones lineales. 6. Sistemas singulares. 7. La descomposición LU	- Propiedades algebraicas y geométricas básicas de los complejos. - Diferenciación de los diferentes tipos de funciones. -Demostraciones por reducción al absurdo. -Operaciones con vectores y matrices. -El método de Gauss. -Método LU. -Cálculo de la matriz inversa.

Bloque de Contenido 2. Los espacios vectoriales y sus subespacios

Conceptos

Procedimientos

1. Los subespacios vectoriales
2. El núcleo y la imagen de una aplicación lineal A
3. Los cuatro subespacios fundamentales.
4. Independencia lineal. Bases. Dimensión.

- Cálculo de los cuatro subespacios fundamentales de A

Bloque de Contenido 3. Los espacios vectoriales euclidianos

Conceptos	Procedimientos
1. El Determinante 2. Cambios de Base 3. Ortogonalización 4. Rotaciones. Matrices ortogonales.	- Cálculo de determinantes. - Cambios de base. - El polinomio característico. - El método de Gram-Schmidt.

Bloque de Contenido 4. Diagonalización

Conceptos	Procedimientos
1. Valores y vectores propis 2. Diagonalización 3. Matrices simétricas.	- Cálculo de valores y vectores propios - Procedimiento de diagonalización

Bloque de Contenido 5. Elementos de teoría de grafos

Conceptos	Procedimientos
1. Grafos y multigrafos. 2. Isomorfismo de grafos. Subgrafos. Grafos completos. Grafos bipartitos. 3. El principio de les manos chocadas. 4. Grafos planares. Teorema de Euler. Teorema de Kuratowski. 5 Representación de un grafo por ordenador.	- Estrategias de utilización de caracterización, propiedades y igualdades sobre grafos para deducir otras propiedades de los mismos. - El método del círculo-cuerda. - Demostraciones por inducción. - Demostraciones per reducción al absurdo.

Bloque de Contenido 6. Árboles

Conceptos	Procedimientos
1. Definiciones y resultados básicos. Caracterizaciones. Árboles con raíz. Árboles m-arios. Árboles equilibrados. 2. Búsquedas en árboles. Búsquedas en profundidad y en extensión. 3. Árboles generadores. Árboles generadores de coste mínimo.	- Caracterizaciones. - Algoritmos de búsquedas en profundidad y en extensión - Algoritmos de Kruskal y de Prim.

Bloque de Contenido 7. Grafos Eulerianos y Hamiltonianos

Conceptos	Procedimientos
1. Circuitos y recorridos eulerianos. 2. Ciclos y caminos hamiltonianos. 3. El problema del viajante.	- Algoritmo de Fleury para la obtención de un circuito euleriano. - Algoritmo de Robert y Flores para la obtención de un ciclo hamiltoniano. - El método de Branch y Bound.

Bloque de Contenido 8. Caminos y Ciclos de Coste Mínimo

Conceptos	Procedimientos
1. Caminos de coste mínimo. 2. Coloración de grafos. 3. El problema de la vigilancia de una galería de arte.	- Algoritmo de Dijkstra. - Algoritmo de Floyd. - Obtención de conjuntos maximales de vértices independientes. Algoritmo de Bron y Kerbosch.

Bloque de Contenido 9. Optimización de Flujos en Redes

Conceptos	Procedimientos
1. Redes de transporte y comunicaciones. 2.- k-Conectividad para vértices y para aristas. 3.- Resultados para grafos dirigidos. 4. Optimización de Flujos en Redes.	- Cortes para vértices y para aristas en redes. Flujos mínimos. - Algoritmos de optimización. - Max-Flow Min-Cut. Algoritmo de Ford y Fulkerson

5. Evaluación del nivel de adquisición de las competencias

Durante el transcurso del curso se hará una evaluación continua a través de las actividades de aprendizaje que se proponen. Se pretende con ello una retroalimentación informativa efectiva para los estudiantes y que sea una ayuda a la verificación de la adquisición de las diferentes competencias. El objetivo es detectar a tiempo dificultades y proporcionar feedback a los estudiantes para orientar su aprendizaje e introducir las modificaciones necesarias.

Estos mecanismos de evaluación, todos ellos obligatorios en la evaluación continuada, están estructurados en dos grandes ejes, de acuerdo con la estructura de aprendizaje de la asignatura. Son los que siguen:

5.1. Eje de Álgebra Lineal

- Controles de problemas: serán dos controles de ejercicios o problemas, análogos o de dificultad análoga a los que se realizan a partir de las colecciones de ejercicios o problemas en las sesiones de prácticas y/o seminario. Cada control de problemas cuenta un 20% de la calificación del eje de Álgebra Lineal. El primer control de problemas será sobre los bloques de contenidos 1 y 2, y el segundo, control sobre los bloques de contenidos 3 y 4.

- Examen Parcial: se trata de una prueba sobre los cuatro bloques de contenidos 1, 2, 3 y 4, es decir, sobre todo el eje de Álgebra Lineal. Constará de ejercicios y problemas representativos donde se tendrán que aplicar todos los conceptos de teoría y demostrar un dominio de las competencias desarrolladas en el eje de Álgebra Lineal. Cuenta un 40% de la calificación del eje de Álgebra Lineal.

Por lo tanto, la nota correspondiente al eje de Álgebra Lineal se calcula como sigue:
10%(1er control teoría) + 10%(2º control teoría) + 20%(1er control problemas) + 20%(2º control problemas) + 40%(nota examen) = nota eje de Álgebra Lineal
Esta nota tiene que ser por lo menos de 5 para aprobar el eje de Álgebra Lineal.

5.2. Eje de Teoría de Grafos y Optimización en Redes

Los mecanismos de evaluación de este bloque, todos ellos obligatorios en la evaluación continuada, son:
- La realización de 4 prácticas de ordenador en las sesiones de problemas que requerirán la realización y entrega de un estudio previo. Los informes de las prácticas se tendrán que entregar al final de la sesión correspondiente. La nota de prácticas quedará ponderada por el número de prácticas a Las que se asista presencialmente. La nota final de prácticas cuenta un 25% de la calificación del eje de Teoría de Grafos y Optimización en Redes.

- Controles de problemas: serán dos controlas de ejercicios o problemas, análogos o de dificultad análoga a los que se realizan a partir de las colecciones de ejercicios o problemas en las sesiones de prácticas y / o seminario. Cada control de problemas cuenta un 12,5% de la calificación del eje de Teoría de Grafos y Optimización en Redes. El tercer control de problemas de ALMD será sobre los bloques de contenidos 5, 6 y 7, y el cuarto, sobre los bloques de contenidos 8 y 9.

- Controles de teoría: serán dos controles de preguntas cortas o tipo test, cuyo objetivo es hacer un seguimiento de los conceptos explicados en las clases de teoría. Cada control de teoría cuenta un 7,5% de la calificación del eje de Teoría de Grafos y Optimización en Redes. El tercer control de teoría de ALMD será sobre los bloques de contenidos 5, 6 y 7, y el cuarto, sobre los bloques de contenidos 8 y 9.

- Examen Parcial: se trata de una prueba sobre los cuatro bloques de contenidos 5, 6, 7, 8 y 9, es decir, sobre el eje de Teoría de Grafos y Optimización en Redes. Constará de ejercicios y problemas representativos donde se tendrán que aplicar todos los conceptos de teoría y demostrar un dominio de las competencias desarrolladas en el eje de Teoría de Grafos y Optimización en Redes. Cuenta un 35% de la calificación del eje de Teoría de Grafos y Optimización en Redes.

Por lo tanto, la nota correspondiente al eje de Teoría de Grafos y Optimización en Redes se calcula como sigue:
25%(nota de prácticas) + 7,5%(3er control teoría) + 7,5%(4º control teoría) + 12,5%(3er control problemas) + 12,5%(4º control problemas) + 35%(nota examen) = nota eje de Teoría de Grafos y Optimización en Redes

Esta nota tiene que ser por lo menos de 5 para aprobar el eje de Teoría de Grafos y Optimización en Redes.

La Nota Final de la asignatura Álgebra Lineal y Matemática Discreta se obtiene calculando la media de:
- la nota del eje de álgebra lineal, siempre que sea mayor o igual a 5,
- la nota del eje de grafos, siempre que sea mayor o igual a 5

Además, se tienen en cuenta los criterios siguientes:
- Para aprobar la asignatura se tiene que obtener una Nota Final superior o igual a 5 (cinco).
- Si la nota del eje álgebra lineal era menor a 5, en el período de exámenes del 2ndo trimestre (convocatoria ordinaria de marzo) el estudiante podrá examinarse también de todos los contenidos del eje de álgebra lineal (bloques 1, 2, 3 y 4).
- En caso de que lo suspenda o de que no se presente al examen de la convocatoria ordinaria de marzo, el alumno se podrá presentar a la convocatoria de setiembre y realizará un examen final (todos los bloques de contenidos) de ambos ejes. Si se ha aprobado uno de los dos ejes, solo será necesario examinarse del eje suspendido.

6. Bibliografía y recursos didácticos

6.1. Bibliografía básica (soporte papel y electrónico)

- G. STRANG, Linear Algebra and its Applications, Harcourt Brace Jovanovich International Edition, 1986. (también: http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/ )
- G. STRANG, 18.06 Linear Algebra Course, MIT Open Courseware, http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/index.htm
- F. CEDO i V. GISIN, Álgebra Básica, Manuales de la UAB, 1997.
- I.V. PROSKURIAKOV, 2000 Problemas de Álgebra Lineal, Ed. Reverté, 1991.
- J.R. EVANS, E. MINIEKA, Optimization Algorithms for Networks and Graphs, Marcel Dekker, 1992.
- R. BHARATH, Computers and Graph Theory,Ellis Horwood, 1991
- J. FÀBREGA, Teoria de Grafs,Edicions de la UPC, 1997.
- J.A. BONDY & U.S.R. MURTY, Graph Theory with Applications (http://www.ecp6.jussieu.fr/pageperso/bondy/books/gtwa/gtwa.html )

6.2. Bibliografía complementária (soporte papel y electrónico)

- M. CASTELLET i I. LLERENA, Álgebra Lineal y Geometria, Manuales de la UAB, 1990.
- F.R. GANTMACHER, Théorie des Matrices,Editions J. Gabay, 1990.
- P. HALMOS, Finite-Dimensional Vector Spaces,Springer Verlag.
- AUBANELL, A. BENSENY y A. DELSHAMS, Útiles Básicos de Cálculo Numérico, Ed. Labor, 1993.
- W. K. NICHOLSON, Álgebra Lineal con aplicaciones, Mc Graw Hill, 2003.
- J.M. BASART i MUÑOZ, Grafs: Fundamentos y Algorismos, Manuales de la UAB, 13, 1994.
- N.L. BIGGS, Discrete Mathematics
- K.H. ROSEN, Discrete Mathematics and its Applications
- M. BRUNAT BLAY, Combinatoria y Teoria de Grafs, Ediciones de la UPC.
- X. FRANCH GUTIÉRREZ, Estructuras de Datos, Ediciones UPC, 1994.
- J. GIMBERT, R. MORENO, J.M. RIBÓ i M. VALLS, Acercamiento a la Teoria de Grafs y a sus Algorismos, EINES 23, 1998.
- TUCKER, Applied Combinatorics, Wiley, 1995.

6.3. Material docente de la asignatura

- A cada sesión de teoria le correspondera un material docente que el profesor entregará al alumno a través del Aula Global.
- Para cada sesión de problemas habrá una colección de problemas que el profesor entregará al alumno a través del Aula Global antes de la realización de la práctica.

7. Metodología

En el primer curso del grado hay dos/cuatro grupos de teoría. Estos grupos de teoría se desdoblan en 3 grupos de prácticas. A su vez, cada grupo de prácticas se desdobla en dos seminarios, cada uno con la mitad de los estudiantes.

El hecho de diferenciar entre tres tipos de sesiones nos permitirá potenciar y evaluar las diversas competencias que pretendemos se alcancen a lo largo de la asignatura. Hay que enfatizar que las sesiones de seminarios favorecen fuertemente la adquisición de competencias transversales.

7.1. Sesiones plenarias

Se trata de dieciocho sesiones de dos horas de duración a las que asiste todo el grupo. El profesor lleva el peso de la sesión puesto que éste se dedica a explicar en la pizarra los conceptos teóricos de la asignatura para que posteriormente se puedan llevar a la práctica. El profesor se encargará de proponer y resolver ejemplos tipo para que la teoría quede clara y para que los alumnos tengan una primera aproximación a lo que se tratará en la sesión de problemas.

Eje I: Álgebra Lineal
· Sesión 1: Presentación de la asignatura. Números complejos. Funciones.
· Sesión 2: Vectores y matrices. Aplicaciones lineales.
· Sesión 3: Geometría de los sistemas de ecuaciones lineales. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss.
· Sesión 4: Descomposición LU. Cálculo de la matriz inversa.
· Sesión 5: Los espacios vectoriales y sus subespacios. Los cuatro subespacios fundamentales. Independencia lineal. Bases.
· Sesión 6: Los cuatro subespacios fundamentales (continuación).
· Sesión 7: Determinantes, aplicaciones. Cambios de base.
· Sesión 8: Espacios vectoriales eucllidianos. Ortogonalización. El método de Gram-Schmidt. Matrices ortogonales, rotaciones.
· Sesión 9: Valores y vectores propios. Diagonalización.
. Sesión 10: Diagonalización. Matrices simétricas.

Eje II: Teoría de Grafos y Optimización en Redes
· Sesión 11: Introducción. Grafos y subgrafos. Modelos de grafos. Propiedades básicas.
· Sesión 12: Isomorfismos. Grafos planares y grafos duales. Representación de grafos por ordenador.
· Sesión 13: Árboles. Búsquedas.
· Sesión 14: Árboles de coste mínimo. Conectividad.
· Sesión 15: Grafos eulerianos. Grafos Hamiltonianos.
· Sesión 16: Caminos y ciclos de coste mínimo.
· Sesión 17: Recubrimientos y Coloración de grafos.
· Sesión 18: Redes de transporte y comunicaciones.
. Sesión 19: Optimización de Flujos en Redes.

7.2. Sesiones de problemas

Son dieciséis sesiones de una hora de duración, organizadas en grupos de treinta estudiantes, en las que el profesor de prácticas propone una serie de problemas a realizar de una colección que los estudiantes habrán preparado puesto que previamente tendrán acceso a ellas. La dinámica general de estas sesiones es la siguiente: en primer lugar, el profesor realiza un ejercicio típico para recordar los conceptos teóricos que se aplican y dar un método de resolución a seguir. En los problemas sucesivos, corresponde a los estudiantes resolver los problemas y salir a la pizarra para explicar sus compañeros cómo lo han hecho. Tanto los estudiantes como el profesor tienen que verificar que el problema se ha resuelto bien y pueden proponer cuestiones.

Eje I: Álgebra Lineal
· Sesión 1: Números complejos. Funciones. Vectores y matrices. Interpretación de las matrices como un caso particular de aplicaciones lineales.
· Sesión 2: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss. Descomposición LU.
· Sesión 3: Cálculo de los cuatro subespacios fundamentales.
· Sesión 4: 1er control de problemas.
· Sesión 5: Determinantes. Cambios de base.
· Sesión 6: Ortogonalización. El método de Gram-Schmidt.
· Sesión 7: Valores y vectores propios. Matrices ortonormales, rotaciones.
. Sesión 8: 2 º control de problemas.

Eje II: Teoría de Grafos y Optimización en Redes

En este bloque, se realizarán algunas sesiones con la ayuda de un ordenador. Para la realización de éstas, el alumno deberá realizar un estudio previo antes de la sesión. Durante la sesión, el alumno deberá ser capaz de analizar los resultados obtenidos mediante las simulaciones y, al finalizar, el alumno deberá entregar un informe al profesor.

· Sesión 9: Problemas de principio de las manos chocadas, de isomorfismos en grafos y el método del círculo-cuerda.
· Sesión 10: Práctica de ordenador sobre árboles y árboles generadores.
· Sesión 11: Problemas sobre grafos eulerianos y hamiltonianos.
· Sesión 12: Práctica de ordenador sobre caminos y ciclos de coste mínimo.
· Sesión 13: Práctica de ordenador sobre coloración de grafos.
. Sesión 14: Práctica de ordenador sobre optimización de flujos en redes.

7.3. Sesiones de seminario

Se trata de veinte sesiones de una hora de duración en grupos pequeños (máximo quince estudiantes). En estas sesiones se realizan diferentes tipos de actividades guiadas por el profesor de seminario.

Eje I: Álgebra lineal
· Sesión 1: Aplicaciones, ejemplos prácticos y problemas sobre la interpretación geométrica de los sistemas de ecuaciones lineales, que se resuelven de forma conjunta. Resolución de cuestiones que plantean los propios estudiantes.
· Sesión 2: Cálculo de la matriz inversa.
· Sesión 3: Independencia lineal y rango de un sistema. Bases.
· Sesión 4: Cálculo de los cuatro subespacios fundamentales. Bases. Resolución de cuestiones que plantean los propios estudiantes.
· Sesión 5: 1er control de teoría.
· Sesión 6: Cambios de base.
· Sesión 7: Gram-Schmidt, ortogonalización.
· Sesión 8: Matrices ortogonales, rotaciones.
· Sesión 9: Diagonalización. Matrices simétricas.
. Sesión 10: 2º Control de teoría.

Eje II: Teoría de grafos y Optimización en Redes
· Sesión 11: Aplicaciones, ejemplos prácticos y problemas resueltos de forma conjunta de las sesiones de teoría 10 y 11. Resolución de cuestiones que plantean los propios estudiantes.
· Sesión 12: Aplicaciones, ejemplos prácticos y problemas resueltos de forma conjunta del tema de árboles, árboles generadores, y conectividad...
· Sesión 13: Aplicaciones, ejemplos prácticos y problemas resueltos del tema euleriano y hamiltoniano.
· Sesión 14: Aplicaciones, ejemplos prácticos y problemas resueltos del tema de caminos y ciclos de coste mínimo. El Problema del Viajante. Algoritmo de Branch & Bound.
· Sesión 15: Control de teoría.
· Sesión 16: Aplicaciones, ejemplos prácticos y problemas resueltos de forma conjunta en la pizarra sobre coloración de grafos.
· Sesión 17: Aplicaciones, ejemplos prácticos y problemas resueltos de la teoría de grafos a las redes de comunicaciones.
· Sesión 18: Aplicaciones, ejemplos prácticos y problemas resueltos de forma conjunta de la teoría de optimización de flujos en redes.
· Sesión 19: Repaso general de todos los conceptos que se han visto en clase. Resolución de cuestiones que plantean los propios estudiantes.
. Sesión 20: Control de teoría.