Ecuaciones Diferenciales (21602)

Titulación/estudio: Grado en Ingeniería en Sistemas Audiovisuales
Curso: primero
Trimestre: tercero
Número de créditos ECTS: 4
Horas de dedicación del estudiante: 100 horas
Lenuga o lenguas de la docencia: Castellano
Profesores: Edoardo Provenzi y Vanel Lazcano 

1. Presentación de la asignatura

Esta asignatura proporcionará a los estudiantes los conceptos básicos relacionados con las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y parciales (EDP). Particular énfasis se dará a las aplicaciones de modelado, para remarcar la importancia no solo teórica de estos tipos de ecuaciones.

A continuación se presenta el resumen de los argumentos que se enseñaran durante la asignatura:

1. Presentación del concepto de ecuación diferencial: notas históricas, definiciones, terminología, problemas de valor inicial;

2. EDOs en variables separables: teoría subyacente y ejercicios. Ejemplos de modelado:
- Dinámica de poblaciones y modelos logísticos;
- Caída de un cuerpo en el vacío y en el aire;
- Datación de materiales con radiocarbono;
- Desintegraciones radiactivas;
- La 'catenaria' como configuración de equilibrio de una cuerda atada en sus extremos;
- La ley de Weber-Fechner sobre la percepción sensorial humana.

3. EDOs lineales del primer orden autónomas y no autónomas: teoría subyacente y ejercicios. El concepto de linealización. Ejemplos de modelado:
- Circuitos eléctricos RL y RC en serie;
- Ley de Newton sobre el enfriamiento.

4. EDOs lineales del segundo orden: teoremas estructurales. EDOs lineales homogéneas en coeficientes constantes: método de solución a través del polinomio característico asociado. EDOs no homogéneas: método de similitud. Ejemplos de modelado:

- Sistemas muelle y masa: movimiento libre, amortiguado (sobre, sub y crítico), forzado;
- Circuitos RLC en serie;
- La  resonancia y los batimientos: afinación de instrumentos musicales y receptores radiofónicos.

5. Soluciones en serie de potencias. Ejemplo notable: la ecuación de Legendre.

6. Métodos numéricos para la resolución de EDOs:
- Método(s) de Euler;
- Método de Heun (predictor-corrector);
- Método de Runge-Kutta.

7. EDPs: se presentarán los conceptos básicos relativos a las condiciones al borde (Dirichlet o Neumann) y se discutirán las ecuaciones en derivadas parciales clásicas:
- Ecuación de onda (o de d'Alembert);
- Ecuación del potencial (o de Laplace);
- Ecuación del calor-difusión.

En particular, se mostrará la técnica de resolución por "separación de las variables" en el caso de la ecuación del calor con condiciones al borde estacionarias y su enlace con las series de Fourier.

El objetivo principal de la asignatura es poner en contacto al estudiante con las técnicas de modelado a través del cálculo integro-diferencial que el estudiante ha  aprendido en las asignatura de cálculo antecedentes.

Estas técnicas tienen un campo de aplicación prácticamente universal, que el estudiante podrá apreciar en la prosecución de sus estudios.

2. Competencias que se deben lograr

Competencias generales

Competencias específicas

Instrumentales Capacidad de comprender y analizar enunciados matemáticos.  Capacidad de identificar la metodología adecuada para analizar un problema i encontrar su solución.  Habilidad de expresar ideas y conceptos matemáticos de forma oral y escrita de manera precisa.  Capacidad de abstracción. Interpersonales Capacidad de trabajar en equipo tanto para resolver problemas como para profundizar contenidos teóricos. Capacidad de comunicar ideas de forma precisa, tanto de forma oral como escrita. Sistémicas Capacidad de trabajar de forma autónoma para resolver un problema. Capacidad de buscar las soluciones más adecuadas según las características de cada contexto. Capacidad de inferir nociones matemáticas. Acostumbrarse a la comprobación y interpretación de las soluciones, no olvidándose de los casos particulares.

1. Capacidad de identificar y justificar la aplicación del modelo matemático adecuado para analizar un problema y encontrar su solución. 2. Habilidad de expresar ideas y conceptos matemáticos de forma oral y escrita de manera precisa. 3. Capacidad de entender y saber reproducir demostraciones teóricas. 4. Capacidad de resolver las ecuaciones diferenciales presentadas durante el curso. 5. Capacidad de modelar un problema en el cual aparecen una magnitud y su rapidez de variación a través de una ecuación diferencial. 6. Capacidad de utilizar los métodos de aproximación presentados para resolver ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver de forma analítica. 7. Saber reconocer la estructura de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales fundamentales y su significado.

3. Contenidos

Bloque 1.

Tema 1.
Presentación del concepto de ecuación diferencial: notas históricas, definiciones, terminología, problemas de valor inicial;  

Tema 2.
EDOs en variables separables: teoría subyacente y ejercicios. Ejemplos de modelado:

- Dinámica de poblaciones y modelos logísticos;
- Caída de un cuerpo en el vacío y en el aire;
- Fechado de materiales con radiocarbono;
- Desintegraciones radiactivas;
- La 'catenaria' como configuración de equilibrio de una cuerda atada en sus extremos;
- La ley de Weber-Fechner sobre la percepción sensorial humana.

Bloque 2.

EDOs lineales del primer orden autónomas y no autónomas: teoría subyacente y ejercicios. Linealización. Ejemplos de modelado:

- Circuitos eléctricos RL y RC en serie;
- Ley de Newton sobre el enfriamiento.

Bloque 3.

Tema 4. EDOs lineales del segundo orden: teoremas estructurales. EDOs lineales homogéneas en coeficientes constantes: método de solución a través del polinomio característico asociado. EDOs no homogéneas: método de similitud. Ejemplos de modelado:

-  Sistemas muelle y masa: movimiento libre, amortiguado (sobre, sub y crítico), forzado;
-  Circuitos RLC en serie;
-  La  resonancia y los batimientos: afinación de instrumentos musicales y receptores radiofónicos.

Bloque 4.

Tema 5. Soluciones en serie de potencias. Ejemplo notable: la  ecuacion de Legendre.

Bloque 5.

Tema 6. Métodos numéricos para la resolución de EDOs:

- Método(s) de Euler;
- Método de Heun (predictor-corrector);
- Método de Runge-Kutta.

Bloque 6.

Tema 6. EDPs: se presentarán los conceptos básicos relativos a las condiciones al borde (Dirichlet o Neumann) y se discutirán las ecuaciones en derivadas parciales clásicas:

- Ecuación de onda (o de d'Alembert);
- Ecuación del potencial (o de Laplace);
- Ecuación del calor-difusión.

En particular, se mostrará la técnica de resolución por "separación de las variables" en el caso de la ecuación del calor con condiciones al borde estacionarias y su enlace con las series de Fourier.

 

4. Metodología

Durante cada bloque de argumentos teóricos, se propondrán ejercicios de repaso y de consolidación.

La resolución de estos ejercicios servirá al estudiante para testear su compresión de los argumentos presentados. Las horas de dedicación varían de persona a persona.

Durante las horas de seminarios los estudiantes serán invitados a presentar las soluciones de los ejercicios propuestos y a discutir con los docentes las eventuales dudas o dificultades que han tenido durante la resolución de los ejercicios.

Las horas de prácticas serán dedicadas mayoritariamente a problemas de modelado a través de las ecuaciones diferenciales presentadas durante las clases de teoría. El estudiante podrá apreciar la versatilidad de las ecuaciones diferenciales examinando problemas prácticos provenientes de la física, ingeniería, geometría, biológica, electrónica, economía, psicofísica.

5. Evaluación

La asignatura se evalúa a través de dos exámenes parciales, ambos escritos. El primer parcial se hará durante la primera semana de Mayo y el segundo al final del curso. Los exámenes consisten en ejercicios relacionados con los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales presentados durante la asignatura. La puntuación de cada ejercicio se notificará antes de empezar el examen. 

Importante: para considerar aprobada la asignatura el estudiante tendrá que tener una nota superior o igual a 5 (sobre la nota máxima de 10) en ambos parciales. De forma tal que si en uno de los parciales el estudiante no llega a la nota de 5 (como mínimo), la asignatura no se considerará aprobada. El estudiante tiene la posibilidad de recuperar en septiembre según las modalidades que siguen:

•-  El estudiante ha aprobado el primer examen parcial pero NO el segundo: en septiembre tendrá que aprobar un examen que contiene solo argumentos (preguntas teóricas y ejercicios) relacionados con el segundo parcial;

•-  El estudiante ha aprobado el segundo examen parcial pero NO el primero: en septiembre tendrá que aprobar un examen que contiene solo argumentos (preguntas teóricas y ejercicios) relacionados con el primer parcial;

•-  El estudiante no ha aprobado NINGUNO de los dos examenes parciales: en septiembre tendrá que aprobar un examen que contiene preguntas teóricas y ejercicios relacionados con todos los argumentos de la asignatura.

 

6. Bibliografía y recursos didácticos

6.1. Bibliografía básica

Apuntes por parte de los docentes.
· D. G. ZILL: Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, International Thomson Editores, 1997.
· G. F. SIMMONS: Ecuaciones diferenciales, Con aplicaciones y notas históricas, Ed. McGraw Hill, 1993.
· S. G. KRANTZ: Differential equations demystified, Ed. McGraw Hill, 2005.
· M. BRAUN: Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, 1990.
· M. R. SPIEGEL: Ecuaciones diferenciales aplicadas, Prentice Hall Hispanoamericana, 1983.
· R. COURANT, F. JOHN: Introducción al cálculo y al análisis matemático Vol. 2, Ed. Limusa, Grupo Noriega Editores, 1999.
· A. QUARTERONI, F. SALERI: Scientific computing with MATLAB and Octave, Springer, 2006.