Curso 2014-15

Algebra Lineal y Matemática Discreta

Titulación:	Código:	Tipo:
Grado en Ingeniería Informática	21404	Básica 1º curso
Grado en Ingeniería Telemática	21294	Básica 1º curso
Grado en Ingeniería en Sistemas Audiovisuales	21593	Básica 1º curso

 

Créditos ECTS:

8

Dedicación:

200 horas

Trimestre:

1º y 2º

 

Departamento:	Dpto. de Tecnologías de la Información y las Comunicaciones
Coordinador:	Vanesa Daza
Profesorado:	Vanesa Daza, Luís Ferraz, Gabriela Ghimpeteanu, Raquel Gil, Nikolaos Makriyannis, Esmeralda Ruiz, Javier Vázquez
Idioma:	Vanesa Daza (CAT) Luís Ferraz (CAT) Gabriela Ghimpeteanu (CAST) Raquel Gil (CAT) Nikolaos Makriyannis CAST) Esmeralda Ruiz (CAT) Javier Vázquez (CAT)
Horario:
Campus:	Campus de la Comunicación - Poblenou

 

Presentación de la assignatura

La asignatura Álgebra Lineal y Matemática Discreta es una de las asignaturas de fundamentos matemáticos que se cursa dentro de los estudios del Grado en Ingeniería en Sistemas Audiovisuales , del Grado en Ingeniería Telemática y del Grado en Ingeniería Informática. En estos grados, Álgebra Lineal y Matemática Discreta imparte en el primer y segundo trimestres del primer año de los estudios y es una asignatura básica de 8 créditos ECTS.

Parte de los conceptos matemáticos que los estudiantes han trabajado en la programación del Bachillerato y los consolida y amplía. Junto con las otras asignaturas de fundamentos matemáticos, proporcionará a los estudiantes las herramientas y la base matemática para trabajar los conceptos propios del grado. En el presente Plan Docente se detallarán las competencias y capacidades a que conduce el aprendizaje de la asignatura, donde paralelamente al desarrollo y estudio de los bloques de contenidos teóricos en que está organizada la asignatura, juegan un papel fundamental los módulos prácticos y actividades asociadas basadas en ejercicios y problemas, donde se pretende consolidar la comprensión de los conceptos y técnicas adquiridas.

La asignatura está estructurada en dos grandes ejes: el primero dedicado a aspectos fundamentales del Álgebra Lineal y el segundo dedicado a algunos ámbitos fundamentales de la Matemática Discreta de gran aplicabilidad en las Ingenierías relacionadas con las TIC, como serían la Teoría de Grafos o la Aritmética. De manera más detallada, el primer eje está enfocado al aprendizaje de: (i) las ideas básicas del álgebra lineal: espacios y subespacios vectoriales, independencia lineal, dimensión, bases, aplicaciones lineales, determinantes, etc., (II) la solución de sistemas lineales, (III) valores y vectores propios. La herramienta o idea inicial a partir de la cual se desarrollarán todas estas competencias es la solución de sistemas lineales por el método de eliminación de Gaus.

El segundo eje está dedicado principalmente a desarrollar las ideas esenciales de la Teoría de Grafos, con algunas notas de combinatoria y algoritmos de Optimización en Redes de transporte. Contribuye así al aprendizaje de algoritmos importantes en la formación de un ingeniero, como por ejemplo el algoritmo de Dijkstra o el algoritmo de Ford-Fulkerson, sirviendo además de complemento a otras asignaturas.

En esta asignatura se pretende aportar formación matemática y una mayor madurez en la capacidad de razonamiento del estudiante, potenciando su capacidad de abstracción. La asignatura está enfocada al aprendizaje de un conjunto de capacidades y estrategias que permitan al alumno analizar un problema, buscar por un modelo matemático para describirlo, resolverlo y analizar la solución obtenida.

 

Prerequisitos

Los conocimientos previos que presupone esta asignatura son los propios de una base matemática de nivel de bachillerato, en particular nociones y procedimientos básicos de cálculo, geometría y álgebra lineal, así como una cierta familiarización con la aritmética de números complejos. Al tratarse de una de las dos asignaturas (junto con Cálculo y Métodos Numéricos) de Matemáticas del primer y segundo trimestre del primer curso de los tres grados, se reforzará a los estudiantes que presentan carencias en matemáticas elementales con ejercicios complementarios con el fin de conseguir una cierta nivelación de todos los estudiantes.

Para un buen seguimiento del itinerario formativo planificado en esta asignatura, se espera del estudiante que entienda que el aprendizaje en esta materia se basa en el propio trabajo y el deseo de aprender y entender. El aprendizaje de la asignatura le reforzará el dominio del lenguaje científico y el razonamiento abstracto. Se le pide la autoexigencia en los razonamientos y la elaboración de trabajo, así como la capacidad de esfuerzo y la participación constructiva.

 

Competencias

Competencias generales

Competencias específicas

Instrumentales 1. Capacidad de comprender y analizar enunciados matemáticos. 2. Capacidad de identificar la metodología adecuada para analizar un problema y encontrar la solución. 3. Capacidad para aplicar los conocimientos al análisis de situaciones y la resolución de problemas. 4. Capacidad de abstracción. 5. Capacidad de sistematización. Sistémicas 6. Capacidad para progresar en los procesos de formación y aprendizaje de manera autónoma y continua. 7. Capacidad de motivación por la calidad y por el logro. 8. Capacidad para buscar soluciones más adecuadas según las características de cada problema/situación/contexto 9. Capacidad para inferir nociones matemáticas.

Eje de Álgebra lineal: 1. Entender el álgebra y la geometría básica de los números complejos. 2. Dominar los conceptos de vector y matriz y las operaciones con vectores y matrices. 3. Conocer la geometría de los sistemas lineales, su resolución, los conceptos de espacio vectorial y cambios de base. 4. Comprensión y dominio del método de eliminación Gaussiana para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 5. Entender el concepto de espacio vectorial. 6. Entender el concepto de base de un espacio vectorial. 7. Comprensión de los cuatro subespacios vectoriales fundamentales. 8. Comprensión del concepto y técnica de los cambios de base. 9. Entender los conceptos de ortonormalización de una base, en particular dominio del método de Gram -Schmidt. 10. Comprensión de las rotaciones y transformaciones básicas. 11. Dominio del concepto de valor y vector propio. 12. Ser capaz de aplicar las técnicas de diagonalización de matrices. 13. Estudiar los valores y vectores propios, las matrices simétricas y su diagonalización. Eje de Matemática Discreta : 14. Dominar los diferentes modelos de grafos 15. Estudio de las propiedades características de los grafos, tales el isomorfismo, planaritat, conexidad, y el principio de las manos encajadas. 16. Comprensión del concepto de Árbol. 17. Estudio de diferentes algoritmos de búsqueda. 18. Dominio del concepto de árbol generador y de algoritmos para calcular. 19. Estudio de los caminos de coste mínimo y del algoritmo de Dijkstra. 20. Estudio de propiedades básicas sobre grafos tales como coloraciones, conjunto independientes, recubrimientos, caminos y ciclos hamiltonianos. 21. Conocer el teorema de corte mínimo-flujo máximo. Conocer y saber implementar el algoritmo de Ford-Fulkerson para resolver el problema del flujo máximo en una red. 22. Conocer las herramientas básicas para el conteo de entidades combinatorias

 

Evaluación

Durante el transcurso del curso se hará una evaluación continua a través de las actividades de aprendizaje propuestas. Se pretende con ello una efectiva retroalimentación informativa para los estudiantes, ayudar a la verificación de la adquisición de las diferentes competencias detectando a tiempo dificultades y proporcionando feedback a los estudiantes para orientar su aprendizaje e introducir las modificaciones necesarias.

Estos mecanismos de evaluación, están estructurados en dos grandes ejes, de acuerdo con la estructura de aprendizaje de la asignatura:

Eje de Álgebra lineal

 -  Control Parcial: control de ejercicios y problemas de los conceptos explicados en las clases de teoría. El control se realizará en la semana 6 y representará el 20% de la calificación del eje de Álgebra Lineal. Este control no es recuperable en julio.

 -  Control Final: prueba donde se evalúan los bloques de contenidos del eje de Álgebra Lineal. Constará de ejercicios y problemas representativos donde se deberán aplicar todos los conceptos de teoría y demostrar un dominio de las competencias desarrolladas en el eje de álgebra lineal. Representa un 80% de la calificación del eje de Álgebra Lineal. En caso contrario, el estudiante dispone de una segunda oportunidad en el mes de julio.

Por tanto, la nota correspondiente al eje de Álgebra Lineal se calcula como

20% (control parcial) + 80% (control final) = nota eje de Álgebra Lineal

Esta nota debe ser al menos de 5 para aprobar el eje de Álgebra Lineal.

La participación en las sesiones de seminario será evaluada. Aquellos alumnos que participen de manera activa pueden obtener hasta un punto extra de la calificación final del eje.

Eje de Matemática Discreta

· Control Parcial: control de ejercicios, problemas, y preguntas teóricas para hacer un seguimiento de los conceptos explicados en las clases de teoría. El control representará el 20% de la calificación del eje de matemática discreta. Los bloques de contenido evaluables durante este primer control serán el 1 y el 2. Este control no es recuperable en julio.
· Control Final: prueba donde se evalúan los bloques de contenidos 1, 2, 3, 4 y 5, es decir, sobre todo el eje de Matemática Discreta. Constará de ejercicios y problemas representativos donde se deberán aplicar todos los conceptos de teoría y demostrar un dominio de las competencias desarrolladas en el eje de matemática discreta. Representa un 80% de la calificación de matemática discreta. En caso contrario, el estudiante dispone de una segunda oportunidad en el mes de julio.

Por tanto, la nota correspondiente al eje de matemática discreta se calcula como

20% (control parcial) + 80% (control final) = nota eje de matemática discreta

Esta nota debe ser al menos de 5 para aprobar el eje de matemática discreta.

La participación en las sesiones de seminario será evaluada. Aquellos alumnos que participen de manera activa pueden obtener hasta un punto extra de la calificación final del eje.

La Nota Final de la asignatura Álgebra Lineal y Matemática Discreta obtiene haciendo la media de:

   - la nota del eje de álgebra lineal, siempre que ésta sea mayor o igual a 4.5, 
   - la nota del eje de matemática discreta, siempre que ésta sea mayor o igual a 4.5.

Además, se tienen en cuenta los siguientes criterios:

   - Para aprobar la asignatura se debe conseguir una Nota Final superior o igual a 5.
   - La recuperación del control final de cada uno de los ejes se realizará en la semana de julio programada para estas tareas. Para calcular la nota final de cada uno de los ejes se mantendrán las notas no recuperables del resto de actividades de la asignatura.

 

Contenidos

Bloques de contenido

La asignatura está estructurada cuatro bloques de contenidos para el eje de Álgebra Lineal y cinco bloques de contenido para el eje de Matemática
discreta:

Eje I: Álgebra lineal
- Bloque de contenido 1. Resolución de Sistemas de ecuaciones lineales.
- Bloque de contenido 2. Los espacios vectoriales y sus subespacios.
- Bloque de contenido 3. Los espacios vectoriales euclídeos.
- Bloque de contenido 4. diagonalización

Eje II: Matemática Discreta
- Bloque de contenido 5. Elementos de teoría de grafos.
- Bloque de contenido 6. Árboles y grafos dirigidos acíclicos
- Bloque de contenido 7. Caminos y otras propiedades de los grafos.
- Bloque de contenido 8. Optimización de flujos en redes
- Bloque de contenido 9. Herramientas de conteo

Organización y concreción de los contenidos

Bloque de contenido 1. Resolución de Sistemas de ecuaciones lineales.

 

Conceptos	Procedimientos
1. Números complejos 2. Funciones. Inversas. Graf de una función. 3. Vectores y Matrices. 4. Ecuaciones lineales. Sistemas. 5. La geometría de los sistemas de ecuaciones lineales. 6. Sistemas singulares.	- Propiedades algebraicas y geométricas básicas de los complejos. - Diferenciación de los diferentes tipos de funciones. -Demostraciones por reducción al absurdo. -Operaciones con vectores y matrices. -El método de Gauss. -Cálculo de la matriz inversa.

Bloque de contenido 2. Los espacios vectoriales y sus subespacios

Conceptos	Procedimientos
1. Los subespacios vectoriales 3. Los cuatro subespacios fundamentales. 4. Independencia lineal. Bases. Dimensión.	- Cálculo de los cuatro subespacios fundamentales de A - Cálculo de independencia lineal de vectores.

Bloque de contenido 3. Los espacios vectoriales euclídeos

Conceptos	Procedimentos
1. El Determinante 2. Cambios de Base 3. Ortogonalización. 4. Rotaciones. Matrices ortogonales.	- Cálculo de determinantes.  - Cambios de base.   - El método de Gram-Schmidt.

Bloque de contenido 4. Diagonalización

Conceptos	Procedimentos
1. Aplicaciones lineales 2. Valores y vectores propios 2. diagonalización 3. Matrices simétricas.	- El núcleo y la imagen de una aplicación lineal A - El polinomio característico. - Cálculo de valores y vectores propios - Procedimiento de diagonalización

Bloque de contenido 5. Elementos de teoría de grafos

Conceptos	Procedimentos
1. Grafos. 2. Isomorfismo de grafos. Subgrafos. Grafos completos. Grafos bipartitos. 3. El principio de las manos encajadas. 4. Grafos planares. Teorema de Euler 5 Herramientas básicas para el contaje	- Estrategias de utilización de caracterización, propiedades y igualdades sobre grafos para deducir otras propiedades. - Demostraciones.

Bloque de contenido 6. Árboles y grafos dirigidos acíclicos

Conceptos	Procedimentos
1. Definiciones y resultados básicos. Caracterizaciones. Árboles con raíz. 2. Búsquedas en profundidad y en extensión. 3. Árboles generadores. Árboles generadores de coste mínimo. 4. Grafos dirigidos acíclicos	Caracterizaciones. - Algoritmos de búsqueda en profundidad y en extensión - Algoritmos de Kruskal y de Prim.

Bloque de contenido 7. Caminos y otras propiedades de los grafos

Conceptos	Procedimentos
1. Caminos, conexidad. caminos de coste mínimo. 2. Coloración de grafos. Conjuntos independientes. Recubrimientos. Caminos y ciclos hamiltonianos.	- Algoritmo de Dijkstra.

Bloque de contenido 8. Optimización de Flujo en redes

Conceptos	Procedimentos
1. Redes de transporte y comunicaciones. 2. Optimización de Flujos en Redes. 3 Teorema del flujo máximo-corte mínimo 4. Emparejamientos en grafos bipartitos	- Algoritmo de Ford y Fulkerson - Algoritmo para encontrar un emparejamiento máximo

Bloque de contenido 9. Conteo

Conceptos	Procedimentos
1. Herramientas básicas de conteo	- Inducción - Reducción al absurdo

 

Metodología

En el primer curso de los grados tenemos dos grupos de teoría. En algunos casos, dependiendo del número de alumnos matriculados, se puede desdoblar algún grupo de teoría, de manera que se realizan de manera paralela dos subgrupos de un mismo grupo (pe los subgrupos 1A y 1B para el grupo 1). Cada grupo de teoría se divide en 3 grupos de prácticas y, a su vez, cada grupo de prácticas se divide en dos seminarios. El hecho de diferenciar entre tres tipos de sesiones diferentes nos permitirá potenciar y evaluar las diversas competencias que pretendemos que alcancen a lo largo de la asignatura. En esto hay que enfatizar en el hecho de que las sesiones de seminarios favorecen fuertemente el logro de competencias transversales.

 

Sesiones plenarias :

Se trata de dieciocho sesiones de dos horas de duración donde asiste todo el grupo. El peso de la sesión lo lleva el profesor que se dedicará a explicar en pizarra los conceptos teóricos de la asignatura para poder aplicarlos después a la práctica. El profesor se encargará de proponer y resolver ejemplos de problemas tipo para clarificar la teoría y para que los estudiantes tengan una primera aproximación a lo que se encontrarán en la clase de problemas.

Eje I: Álgebra lineal
· Sesión 1: Presentación de la asignatura. Números complejos.

· Sesiones 2 y 3: Geometría de los sistemas de ecuaciones lineales. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales, Método de Gauss

·Sesión 4. Matrices i determinantes

· Sesión 5: Los espacios vectoriales y sus subespacios. Independencia lineal. Bases.

· Sesión 6: Cambios de base. Los cuatro subespacios fundamentales.

· Sesión 7: Espacios vectoriales euclídeos. Ortogonalización. El método de Gram-Schmidt. Matrices ortogonales, rotaciones.

· Sesión 8: Aplicaciones lineales.

· Sesión 9: Valores y vectores propios. Diagonalización.
Matrices simétricas.

Eje II : Matemática Discreta
    Sesión 10: Introducción. Definición y Propiedades básicas sobre grafos.

    Sesión 11: circuitos eulerianos y ciclos hamiltonianos. 

    Sesión 12: grafos planares.

    Sesión 13: árboles. Árboles generadores de coste mínimo.

    Sesión 14: árboles arraigados y grafos dirigidos acíclicos.

    Sesión 15: búsquedas en grafos

    Sesión 16: caminos mínimos y coloración de grafos .

    Sesión 17: redes de flujo.

    Sesión 18: conteo : herramientas básicas.

Sesssions de problemas:

En el eje de Álgebra Lineal son seis sesiones de dos horas de duración con treinta estudiantes en las que el profesor de prácticas propone una serie de problemas a realizar de una colección que los estudiantes tendrán previamente y habrán preparado. La dinámica general de estas sesiones es la siguiente: En primer lugar, el profesor realiza un ejercicio típico para recordar los conceptos teóricos que se aplican y dar un método de resolución a seguir.

En el eje de matemática discreta son doce sesiones de una hora de duración con treinta estudiantes en las que el profesor de prácticas propone una serie de problemas a realizar de una colección que los estudiantes tendrán previamente y habrán preparado. La dinámica general de estas sesiones es la siguiente: En primer lugar, el profesor realiza un ejercicio típico para recordar los conceptos teóricos que se aplican y dar un método de resolución a seguir.

Sesiones de seminarios:

En el eje de Álgebra Lineal son 4 sesiones de dos horas de duración en pequeños grupos, de unos quince estudiantes. En estas sesiones se realizan diferentes tipos de actividades guiadas por el profesor de seminario. Se propondrán ejercicios con anterioridad, que los alumnos deberán preparar para la sesión. Al comenzar la sesión les mostrarán a los profesores responsables de la sesión y trabajarán en la sesión sobre la resolución de estos ejercicios u otros que deriven de los mismos. No se puede participar en la sesión si no se han preparado los ejercicios propuestos para la sesión . Los estudiantes pueden participar en la pizarra para explicar a sus compañeros su resolución.

En el eje de matemática discreta son 8 sesiones de una hora de duración en pequeño grupo, de unos quince estudiantes. En estas sesiones se realizan diferentes tipos de actividades guiadas por el profesor de seminario. Se propondrán ejercicios con anterioridad, que los alumnos deberán preparar para la sesión. Al comenzar la sesión les mostrarán a los profesores responsables de la sesión y trabajarán en la sesión sobre la resolución de estos ejercicios u otros que deriven de los mismos. No se puede participar en la sesión si no se han preparado los ejercicios propuestos para la sesión. Los estudiantes pueden participar en la pizarra para explicar a sus compañeros su resolución.

Sesssions no presenciales:

Las sesiones presenciales sólo representan una parte relativamente pequeña de lo que representa las horas que el estudiante debe dedicar a la asignatura. Hay que añadir pues a éstas, las sesiones no presenciales, que el estudiante debe aprovechar para captar los conocimientos de las sesiones plenarias, realizar ejercicios y problemas y aquellas actividades requeridas para las sesiones por los profesores de la asignatura.

S'ha habilitat una aula a la plataforma Piazza per a fomentar la participació entre els estudiants.

 

Recursos

Bibliografía básica (soporte papel y electrónico)
·D. Lay, Álgebra y sus Aplicaciones, Pearson.

G. Strang, Linear Algebra and its Applications, Harcourt Brace Jovanovich International Edition, 1986. (también: http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/)

· G. Strang, 18:06 Linear Algebra Course, MIT Open Courseware, http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/index.htm
· K.H. ROSEN, Discrete Mathematics and its Applications
· J.KLEINBERG, E. Tardos, Algorithm Design, Addison Wensley 2005.


Bibliografía complementaria (soporte papel y electrónico)
· M. CASTELLET y E. LLERENA, Álgebra Lineal y Geometría, Manuales dela UAB, 1990.
· F.R. GANTMACHER, Theorie des Matrices.  ediciones J. Gabay, 1990.
· P. Halmos, Finite - Dimensional Vector Spaces, Springer Verlag.
· Aubanell, A. Benseny y A. Delshams, Útiles Básicos de Cálculo Numérico, Ed . Labor, 1993.
· WK NICHOLSON, Algebra Lineal con aplicaciones, Mc Graw Hill, 2003.
· J.M. Basart y MUÑOZ, Grafos: Fundamentos y Algoritmos, Manuales de la UAB, 13, 1994.
· N.L. BIGGS, Discrete Mathematics
· M. Bruno BLAY, Combinatoria y Teoría de Grafos, Ediciones de la UPC.
· J. Gimbert, R. MORENO, J.M. RIBÓ y M. VALLS, Acercamiento a la Teoría de Grafos y sus Algoritmos, HERRAMIENTAS 23, 1998.
· TUCKER, Applied Combinatorics, Wiley, 1995.
· F. CEDÓ y V. Gisin, Álgebra Básica, Manuales de la UAB, 1997.

· I.V. PROSKURIAKOV, 2000 Problemas de Álgebra Lineal, Ed. Reverté , 1991.
· J.R. EVANS, E. MINIEKA, Optimization Algorithms for Networks and Graphs, Marcel Dekker, 1992.
· R. Bharathi, Computers and Graph Theory, Ellis Horwood, 1991
· J. FÀBREGA, Teoría de Grafos, Ediciones de la UPC, 1997 .
· J.A. BONDY, U.S.R. Murty, Graph Theory with Applications (http://www.ecp6.jussieu.fr/pageperso/bondy/books/gtwa/gtwa.html

 
Recursos didácticos. Material docente de la asignatura
· Para cada sesión de problemas (prácticas y seminarios) habrá una colección de problemas que el profesor entregará al alumno a través del Aula Global antes de la realización de la sesión.