Curs 2013-14

Equacions Diferencials

Titulació: Codi: Tipus:
Grau en Enginyeria Informàtica 22634 Optativa
Grau en Enginyeria Telemàtica 22581 Optativa
Grau en Enginyeria en Sistemes Audiovisuals 21602 Obligatòria 1r curs

 

Crèdits ECTS: 4 Dedicació: 100 hores Trimestre: 3r

 

Departament: Dept. de Tecnologies de la Informació i les Comunicacions
Coordinador: Juan Calvo
Professorat:

Juan Calvo (coordinador), Mariella Dimiccoli, Ernest Montbrió
Idioma:

Juan Calvo (castellà), Mariella Dimiccoli (castellà), Ernest Montbrió
Horari:
Campus: Campus de la Comunicació - Poblenou

 

Presentació de l'assignatura

 
Aquesta assignatura proporcionarà als estudiants els conceptes bàsics relacionats amb les equacions diferencials ordinàries (EDO 's) i parcials (EDP). Particular èmfasi es donarà a les aplicacions de modelatge, per remarcar la importància no només teòrica d'aquests tipus d'equacions.

A continuació es presenta el resum dels temes que s'ensenyaran durant l'assignatura:
 
 
1. Presentació del concepte d'equació diferencial: definicions, terminologia, problemes de valors inicials.

2. EDO's en variables separades: teoria subjacent i exercicis. Aplicacions i exemples de modelatge són:
 
- Dinàmica de poblacions i models logístics

- Caiguda d'un cos en el buit i en l'aire

- Economia: interès simple i interès compost
 

3. EDO's lineals del primer ordre: teoria subjacent i exercicis. Exemples de modelatge:

- Desintegracions radioactives

- Datació de materials amb radiocarboni 

- Circuits elèctrics RL i RC en sèrie

 
4 EDO's lineals del segon ordre amb coeficients constants: teoremes estructurals. Solució d'equacions homogènies mitjançant el polinomi característic associat. Solució d'equacions no homogènies: mètode de similitud.
 
Exemples de modelatge:

- Sistemes moll i massa: moviment lliure, esmorteït (sobre, sub i crític), forçat

- Circuits RLC en sèrie
 
 
5. La transformada de Laplace: definició i propietats. Aplicació a la resolució d'EDO's.
 
6. Mètodes numèrics per a la resolució d'EDO's:

- Mètode (s) d'Euler;

- Mètode de Heun (predictor-corrector);

- Mètode de Runge-Kutta.
 
 
7. Introducció a les EDP's: generalitats. L'equació de la calor i les seves propietats. Problemes de contorn i resolució per separació de variables.

L'objectiu principal de l'assignatura és posar en contacte l'estudiant amb les tècniques de modelatge a través del càlcul algebraic i íntegre-diferencial que l'estudiant ha après en les assignatures de càlcul antecedents.

Aquestes tècniques tenen un camp d'aplicació pràcticament universal, que l'estudiant podrà apreciar en la prossecució dels seus estudis.

 

Prerequisits

És altament recomandable haver cursat amb èxit les assignatures: Àlgebra i Matemàtica Discreta, Càlcul i Mètodes Numèrics.

 

Competències

Competencias generalesCompetencias específicas

Instrumentales

1.Capacitat de comprendre i analitzar enunciats matemàtics.

2. Capacitat d'identificar la metodologia adequada per analitzar un problema i trobar la seva solució.

3. Habilitat d'expressar idees i conceptes matemàtics de forma oral i escrita de manera precisa.

4. Capacitat d'abstracció.

Interpersonals

5. Capacitat de treballar en equip tant per resoldre problemes com per aprofundir continguts teòrics.

6. Capacitat de comunicar idees de forma precisa, tant de forma oral com escrita.

Sistèmiques

7. Capacitat de treballar de forma autònoma per resoldre un problema.

8. Capacitat de cercar les solucions més adequades segons les característiques de cada context.

9. Capacitat d'inferir nocions matemàtiques.

10.Acostumar-se a la comprovació i interpretació de les solucions, no oblidant-se dels casos particulars

1.Capacitat d'identificar i justificar l'aplicació del model matemàtic adequat per analitzar un problema i trobar la seva solució.

2. Habilitat d'expressar idees i conceptes matemàtics de forma oral i escrita de manera precisa.

3. Capacitat d'entendre i saber reproduir demostracions teòriques.

4. Capacitat de resoldre les equacions diferencials presentades durant el curs.

5. Capacitat de modelar un problema en el qual apareixen una magnitud i la seva rapidesa de variació a través d'una equació diferencial.

6.Capacitat d'utilitzar els mètodes d'aproximació presentats per resoldre equacions diferencials que no es poden resoldre de forma analítica.

7. Saber reconèixer l'estructura de les equacions diferencials en derivades parcials fonamentals i el seu significat.

 

Avaluació

L'assignatura s'avalua mitjançant un examen escrits i dues proves de classe (la primera d'elles escrita i la segona amb ordinador). L'examen escrit és recuperable al juliol, les proves de classe no són recuperables. L'examen tindrà lloc durant les dates dels exàmens de juny. Les dues proves tindran lloc durant les setmanes 6 i 9 (aproximadament). Tant l'examen com les proves de classe consisteixen en preguntes teòriques i exercicis relacionats amb els diferents tipus d'equacions diferencials presentats durant l'assignatura. La puntuació de cada exercici es notificarà sobre el full de l'examen / prova.

 
Tant les proves com l'examen puntuen sobre 10. Cal obtenir almenys un 5 sobre 10 a les qualificacions de l'examen per aprovar l'assignatura. En cas de complir la condició anterior, la nota final es calcularà amb la fórmula següent:
 
Nota_final = el màxim entre

1) la nota de l'examen

2) 0.75 · Nota_Examen + 0.15 · Prueba_Escrita +0.10 · Prueba_Ordenador.
 
 
L'estudiant té la possibilitat de recuperar al juliol la nota corresponent a l'examen (es guarden les qualificacions de les proves).

 

Continguts

Bloc 1.

Tema 1.

Presentació del concepte d'equació diferencial: definicions, terminologia, problemes de valors inicials.

 

Tema 2.

EDO's en variables separades: teoria subjacent i exercicis. Exemples de modelatge:

- Dinàmica de poblacions i models logístics

- Caiguda d'un cos en el buit i en l'aire

- Economia: interès simple i interès compost

- Llei de Newton sobre el refredament / escalfament 

Bloc 2.

Tema 3. 

EDO's lineals del primer ordre: teoria subjacent i exercicis. Exemples de modelatge:

- Circuits elèctrics RL i RC en sèrie

- Desintegracions radioactives

- Datat de materials amb radiocarboni 

Tema 4. 

EDO's lineals de segon ordre amb coeficients constants: teoremes estructurals. Solució d'equacions homogènies mitjançant el polinomi característic associat. Solució d'equacions no homogènies: mètode de similitud.

- Sistemes moll i massa: moviment lliure, esmorteeixdo (sobre, sub i crític), forçat

- Circuits RLC en sèrie

Bloc 3.

Tema 5.

La transformada de Laplace: definició i propietats. Aplicació a la resolució d'EDO's.

Bloc 4.

Tema 6. 

Mètodes numèrics per a la resolució d'EDO's:

- Mètode (s) d'Euler

- Mètode de Heun (predictor-corrector)

- Mètode de Runge-Kutta.

Bloc 5.

Tema 7.

Introducció a les EDP's: generalitats. L'equació de la calor i les seves propietats. Problemes de contorn i resolució per separació de variables.

 

Metodologia

Durant cada bloc d'arguments teòrics es proposaran exercicis de repàs i de consolidació.
 
La resolució d'aquests exercicis servirà a l'estudiant per testejar la seva compressió dels arguments presentats. Les hores de dedicació varien de persona a persona.
 
Durant les hores de seminaris els estudiants seran convidats a presentar les solucions dels exercicis proposats ia discutir amb els docents les eventuals dubtes o dificultats que hagin tingut durant la resolució dels exercicis. Considerem molt important aquesta interacció, per tant és important que els estudiants vinguin amb els exercicis fets als seminaris o, si han tingut problemes, amb els seus intents de solució.
 
Les hores de pràctiques seran dedicades majoritàriament a problemes de modelatge a través de les equacions diferencials presentades durant les classes de teoria. L'estudiant podrà apreciar la versatilitat de les equacions diferencials examinant problemes pràctics provinents de la física, enginyeria, biologia, electrònica i economia.

 

Recursos

• Apunts preparats pels docents

• D. G. ZILL : Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado , International Thomson Editores, 1997.

• S. G. KRANTZ : Differential equations demystified , Ed. McGraw Hill, 2005.

• G. F. SIMMONS : Ecuaciones diferenciales, Con aplicaciones y notas históricas , Ed. McGraw Hill, 1993.

• F. DIACU : An introduction to differential equations: order and chaos, Freedman and company, 2000.

• T. M. APOSTOL : Calculus (vols. 1 y 2), Reverté, 1990.

• M. R. SPIEGEL : Transformadas de Laplace, Ed. McGraw Hill, 1998.