Curs 2010-2011

Àlgebra Lineal i Matemàtica Discreta (21294)

Titulació/estudi: Grau en Enginyeria en Informàtica, Grau en Enginyeria en Sistemes Audiovisuals i Grau en Enginyeria Telemàtica
Curs: 1r.
Trimestre: 1r, 2n
Nombre de crèdits ECTS: 8 crèdits
Hores dedicació estudiant: 200 hores
Llengua o llengües de la docència: català i castellà
Professors: Coloma Ballester, Víctor Dalmau, Vanesa Daza, Gabriele Facciolo, Luís Ferraz, Emilia Gómez, Corné Hoogendorn, Vanel Lazcano, Enric Meinhardt y Mohamed Sordo

1. Presentació de l'assignatura

L'assignatura d'Àlgebra Lineal i Matemàtica Discreta és una de les assignatures de fonaments matemàtics que es cursa dins dels estudis del Grau en Enginyeria en Sistemes Audiovisuals, del Grau en Enginyeria Telemàtica i del Grau en Enginyeria en Informàtica. En aquests graus, Àlgebra Lineal i Matemàtica Discreta s'imparteix en el primer i segon trimestres del primer any dels estudis i és una assignatura Bàsica, de 8 crèdits. Parteix dels conceptes matemàtics que els estudiants han treballat en la programació del Batxillerat i els consolida i amplia. Juntament amb les altres assignatures de fonaments matemàtics, proporcionarà als estudiants les eines i la base matemàtica per a treballar els conceptes propis del grau. En el present Pla Docent es detallaran les competències i capacitats a que condueix l'aprenentatge de l'assignatura, on paral·lelament al desenvolupament i estudi dels blocs de continguts teòrics en que està organitzada l'assignatura, juguen un paper fonamental els mòduls pràctics i activitats associades, que estan basats en exercicis i problemes, on es pretén consolidar la comprensió dels conceptes i tècniques adquirides, complementant-los també amb algunes pràctiques amb ordinador.

Àlgebra Lineal i Matemàtica Discreta està dedicada a una introducció a l'Àlgebra Lineal així com a una introducció a la Teoria de Grafs i a optimització de fluxos en xarxes. Està estructurada en dos grans blocs. El primer està enfocat a l'aprenentatge de: (i) les idees bàsiques de l'àlgebra lineal: espais i subespais vectorials, independència lineal, dimensió, bases, aplicacions lineals, determinants, etc.; (ii) la solució de sistemes lineals; (iii) valors i vectors propis. L'eina o idea inicial a partir de la qual es desenvoluparan totes aquestes competències és la solució de sistemes lineals pel mètode d'eliminació de Gauss.

El segon eix està dedicat a desenvolupar les idees essencials de la Teoria de Grafs, amb algunes notes de combinatòria i algoritmes d'Optimització en Xarxes de transport. Contribueix així a l'aprenentatge d'algoritmes importants en la formació d'un enginyer, com per exemple l'algoritme de Dijkstra o l'algoritme de Ford-Fulkerson, servint a més de complement a altres assignatures, entre elles les del bloc d'assignatures d'algorítmica, programació i estructures de dades. L'aprenentatge es planteja amb un enfocament pràctic, que inclou l'estudi de múltiples algoritmes de grafs i unes pràctiques amb ordinador.

En aquesta assignatura es pretén aportar formació matemàtica i una major maduresa en la capacitat de raonament de l'estudiant, potenciant la seva capacitat d'abstracció. L'assignatura està enfocada a l'aprenentatge d'un conjunt de capacitats i estratègies que permetin a l'alumne analitzar un problema, cercar-ne un model matemàtic per a descriure'l, resoldre'l i analitzar-ne la solució obtinguda.

Prerequisits per al seguiment de l'itinerari formatiu

Els coneixements previs que pressuposa aquesta assignatura són els propis d'una base matemàtica de nivell de batxiller o de formació professional, en particular nocions i procediments bàsics de càlcul, geometria i d'àlgebra lineal, així com una certa familiarització amb l'aritmètica de nombres complexes. Al tractar-se d'una de les dues assignatures (juntament amb Càlcul i Mètodes Numèrics) de Matemàtiques del primer i segon trimestre del primer curs dels tres graus, es reforçarà als estudiants que presenten carències en matemàtiques elementals amb exercicis complementaris per tal d'aconseguir un cert anivellament de tots els estudiants. 

Per a un bon seguiment de l'itinerari formatiu planificat en aquesta assignatura, s'espera de l'estudiant que entengui que l'aprenentatge en aquesta matèria es basa en el propi treball i el desig d'aprendre i entendre. L'aprenentatge de l'assignatura li reforçarà el domini del llenguatge científic i el raonament abstracte. Se li demana l'autoexigència en els raonaments i l'elaboració de treball, així com la capacitat d'esforç i la participació constructiva.

2. Competències que s'han d'assolir

Competències generals

Competències específiques

Instrumentals 1. Capacitat de comprendre i analitzar enunciats matemàtics. 2. Capacitat d'identificar la metodologia adequada per analitzar un problema i trobar-ne la solució. 3. Habilitat d'expressar idees i conceptes matemàtics de forma oral i escrita de manera precisa. 4. Capacitat d'abstracció 5. Capacitat de sistematització. Sistèmiques 6. Capacitat per treballar autònomament en la resolució de problemes 7. Capacitat per aprendre dels errors propis i dels altres 8. Capacitat per treballar autònomament en la resolució de problemes 9. Capacitat per aprendre dels errors propis i dels altres 10. Capacitat per cercar solucions més adequades segons les característiques de cada problema/situació/context 11. Capacitat per inferir nocions matemàtiques.

Eix d'Àlgebra lineal 1. Entendre l'àlgebra i la geometria bàsica dels nombres complexos. 2. Dominar els conceptes de vector i matriu i les operacions amb vectors i matrius. 3. Entendre la geometria dels sistemes d'equacions lineals. 4. Comprensió i domini del mètode d'eliminació Gaussiana per a la resolució de sistemes d'equacions lineals. 5. Entendre el concepte de base d'un espai vectorial. 6. Comprensió dels quatre subespais vectorials fonamentals. 7. Comprensió del concepte i tècnica dels canvis de base. 8. Entendre els concepte d'ortonormalització d'una base, en particular domini del mètode de Gram-Schmidt. 9. Comprensió de les rotacions i transformacions bàsiques. 10. Domini del concepte de valor i vector propi. 11. Entendre el concepte de matriu diagonalitzable i cas de les matrius simètriques. Eix de Teoria de Grafs i optimització en xarxes 12. Familiaritzar-se i entendre els elements de la Teoria de Grafs. 13. Dominar els diferents models de grafs, així com el concepte de multigraf. 14. Adquirir el concepte d'isomorfismes de grafs. 15. Estudi de les propietats característiques dels grafs, tals com el principi de les mans encaixades. 16. Analitzar les diferents representacions de grafs en un ordinador. 17. Comprensió del concepte d'Arbre. 18. Estudi de diferents algoritmes de búsqueda en arbres. 19. Domini del concepte d'arbre generador i d'algoritmes per a calcular-ne. 20. Estudi i domini de la caracterització dels grafs Eulerians. 21. Estudi dels grafs Hamiltonians. 22. Domini d'algoritmes per a l'obtenció d'un circuit Eulerià i d'un cicle Hamiltonià. 23. Estudi dels camins de cost mínim. 24. Estudi del problema del viatjant. 25. Entendre la col.loració de grafs. 26. Comprensió i anàlisi del cas dels grafs en les xarxes de comunicacions 27.Comprensió i del concepte de connexitat per a grafs dirigits i no dirigits així com les seves aplicacions.  28. Comprensió de l'optimització de fluxos en xarxes. 29. Coneixer i saber implementar l'algoritme de Ford-Fulkerson per resoldre el problema del fluxe màxim en una xarxa.

 

3. Continguts

3.1. Blocs de contingut

L'assignatura està estructurada quatre blocs de continguts per al bloc o part d'Àlgebra Lineal i cinc blocs de contingut per a la part de Teoria de Grafs i Optimització en Xarxes:

Bloc I: Àlgebra lineal

- Bloc de contingut 1. Resolució de Sistemes d'equacions lineals.
- Bloc de contingut 2. Els espais vectorials i els seus subespais.
- Bloc de contingut 3. Els espais vectorials euclidians.
- Bloc de contingut 4. Diagonalització

Bloc II: Teoria de grafs i optimització en xarxes

- Bloc de contingut 5. Elements de teoria de grafs.
- Bloc de contingut 6. Arbres.
- Bloc de contingut 7. Grafs Eulerians i Hamiltonians.
- Bloc de contingut 8. Camins i cicles de cost mínim.
- Bloc de contingut 9. Optimització de fluxos en xarxes.

3.2. Organització i concreció dels continguts

Bloc de contingut 1. Resolució de Sistemes d'equacions linials.

Conceptes	Procediments
1. Nombres complexos 2. Funcions. Inverses. Graf d'una funció. 3. Vectors i Matrius. 4. Equacions lineals. Sistemes. 5. La geometria dels sistemes d'equacions lineals. 6. Sistemes singulars. 7. La descomposició LU	- Propietats algebraiques i geomètriques bàsiques dels complexos. - Diferenciació dels diferents tipus de funcions. - Demostracions per reducció a l'absurd. - Operacions amb vectors i matrius. - El mètode de Gauss. - Mètode LU. - Càlcul de la matriu inversa.

Bloc de contingut 2. Els espais vectorials i els seus subespais

Conceptes	Procediments
1. Els subespais vectorials 2. El nucli i la imatge d'una aplicació lineal A 3. Els quatre subespais fonamentals. 4. Independència lineal. Bases. Dimensió.	- Càlcul dels quatre subespais fonamentals de A.

Bloc de contingut 3. Els espais vectorials euclidians

Conceptes	Procediments
1. El Determinant 2. Canvis de Base 3. Ortogonalització. 4. Rotacions. Matrius ortogonals.	- El polinomi característic - El mètode de Gram-Schmidt

Bloc de contingut 4. Diagonalització

Conceptes	Procediments
1. Valors i vectors propis 2. Diagonalització 3. Matrius simètriques.	- Càlcul de valors i vectors propis - Procediment de diagonalització

Bloc de contingut 5. Elements de teoria de grafs

Conceptes	Procediments
1. Grafs i multigrafs. 2. Isomorfisme de grafs. Subgrafs. Grafs complets. Grafs bipartits. 3. El principi de les mans encaixades. 4. Grafs planars. Teorema de Euler. Teorema de Kuratowski. 5 Representació d'un graf en un ordinador.	- Estratègies d'utilització de caracterització, propietats i igualtats sobre grafs per deduir-ne altres propietats. - El mètode del cercle-corda. - Demostracions per inducció. - Demostracions per reducció a l'absurd.

Bloc de contingut 6. Arbres

Conceptes	Procediments
1. Definicions i resultats bàsics. Caracteritzacions. Arbres amb arrel. Arbres m-aris. Arbres equilibrats. 2. Cerques en arbres. Cerques en profunditat y en extensió. 3. Arbres generadors. Arbres generadors de cost mínim.	- Caracteritzacions. - Algoritmes de cerques en profunditat i en extensió. - Algoritmes de Kruskal i de Prim.

Bloc de contingut 7. Grafs Eulerians i Hamiltonians

Conceptes	Procediments
1. Circuits i recorreguts Eulerians. 2. Cicles i camins Hamiltonians. 3. El problema del viatjant de comerç.	- Algoritme de Fleury per a l'obtenció d'un circuit Eulerià. - Algoritme de Robert i Flores per a l'obtenció d'un cicle Hamiltonià. - El mètode de Branch and Bound. .

Bloc de contingut 8. Camins i Cicles de cost mínim

Conceptes	Procediments
1. Camins de cost mínim. 2. Coloració de grafs. 3. El problema de la vigilància d'una galeria d'art.	- Algoritme de Dijkstra. - Algoritme de Floyd. - Obtenció de conjunts maximals de vèrtexs independents. Algoritme de Bron i Kerbosch.

Bloc de contingut 9. Optimització de Fluxos en xarxes

Conceptes	Procediments
1. Els grafs a les xarxes de comunicacions. 2. Optimització de Fluxos en Xarxes.	- Algoritmes d'optimitazió - Max Flow Min Cut. Algoritme de Ford i Fulkerson

4. Avaluació

Durant el transcurs del curs es farà una avaluació continuada a través de les activitats d'aprenentatge proposades. Es pretén amb això una efectiva retroalimentació informativa per als estudiants, ajudar a la verificació de l'adquisició de les diferents competències detectant a temps dificultats i proporcionant feedback als estudiants per orientar el seu aprenentatge i introduir les modificacions necessàries.

Aquests mecanismes d'avaluació, tots ells obligatoris en l'avaluació continuada, són els que segueixen i estan estructurats en dos grans eixos, d'acord amb l'estructura d'aprenentatge de l'assignatura:

Eix d'Àlgebra lineal

• Controls de teoria: seran dos controls de preguntes curtes o de tipus test per tal de fer un seguiment dels conceptes explicats a les classes de teoria. Cada control de teoria compta un 10% de la qualificació de l'eix d'Àlgebra Lineal. El primer control de teoria serà sobre els blocs de continguts 1 i 2, i el segon control sobre els blocs de continguts 3 i 4.

• Controls de problemes: seran dos controls d'exercicis o problemes, anàlegs o de dificultat anàloga als que es realitzen a partir de les col·leccions d'exercicis o problemes a les sessions de pràctiques i/o seminari. Cada control de problemes compta un 20% de la qualificació de l'eix d'Àlgebra Lineal. El primer control de problemes serà sobre els blocs de continguts 1 i 2, i el segon control sobre els blocs de continguts 3 i 4.

• Examen Parcial: es tracta d'una prova sobre els quatre blocs de continguts 1, 2, 3 i 4, és a dir, sobre tot l'eix d'Àlgebra Lineal. Constarà d'exercicis i problemes representatius on s'hauran d'aplicar tots el conceptes de teoria i demostrar un domini de les competències desenvolupades en l'eix d'àlgebra lineal Compta un 40% de la qualificació de l'eix d'Àlgebra Lineal. 

Per tant, la nota corresponent a l'eix d'Àlgebra Lineal es calcula com

10%(1er control teoria) + 10%(2on control teoria) + 20%(1er control problemes) + 20%(2on control problemes) + 40%(nota examen) = nota eix d'Àlgebra Lineal

Aquesta nota ha de ser almenys de 5 per aprovar l'eix d'Àlgebra Lineal.

 

Eix de Teoria de grafs i optimització en xarxes

Els mecanismes d'avaluació, tots ells obligatoris en l'avaluació continuada d'aquest bloc, són:

• La realització de 4 pràctiques d'ordinador a les sessions de problemes que requeriran la realització i entrega d'un estudi previ. Els informes de les pràctiques s'hauran d'entregar al acabar la sessió corresponent. La nota de pràctiques quedarà ponderada pel nombre de pràctiques a les què s'assisteixi presencialment. La nota final de pràctiques compta un 25% de la qualificació de l'eix de Teoria de grafs i optimització en xarxes.

• Controls de problemes: seran dos controls d'exercicis o problemes, anàlegs o de dificultat anàloga als que es realitzen a partir de les col·leccions d'exercicis o problemes a les sessions de pràctiques i/o seminari. Cada control de problemes compta un 12,5% de la qualificació de l'eix de Teoria de grafs i optimització en xarxes. El tercer control de problemes de ALMD serà sobre els blocs de continguts 5, 6 i 7, i el quart control sobre els blocs de continguts 8 i 9.

• Controls de teoria: seran dos controls de preguntes curtes o de tipus test per tal de fer un seguiment dels conceptes explicats a les classes de teoria. Cada control de teoria compta un 7,5% de la qualificació de l'eix de Teoria de grafs i optimització en xarxes. El tercer control de teoria de ALMD serà sobre els blocs de continguts 5, 6 i 7, i el quart control sobre els blocs de continguts 8 i 9.

• Examen Parcial: es tracta d'una prova sobre els quatre blocs de continguts 5, 6, 7, 8 i 9, és a dir, sobre tot l'eix de Teoria de grafs i optimització en xarxes. Constarà d'exercicis i problemes representatius on s'hauran d'aplicar tots el conceptes de teoria i demostrar un domini de les competències desenvolupades en l'eix de Teoria de grafs i optimització en xarxes. Compta un 35% de la qualificació de l'eix de Teoria de grafs i optimització en xarxes.

Per tant, la nota corresponent a l'eix de Teoria de grafs i optimització en xarxes es calcula com

25%(nota de pràctiques) + 7,5%(3er control teoria) + 7,5%(4art control teoria) + 12,5%(3er control problemes) + 12,5%(4art control problemes) + 35%(nota examen) = nota eix de Teoria de grafs i optimització en xarxes

Aquesta nota ha de ser almenys de 5 per aprovar l'eix de Teoria de grafs i optimització en xarxes.

La Nota Final de l'assignatura Àlgebra Lineal i Matemàtica Discreta s'obté fent la mitjana de:

- la nota de l'eix d'àlgebra lineal, sempre que aquesta sigui major o igual a 5,
- la nota de l'eix de grafs, sempre que aquesta sigui major o igual a  

A més, es tenen en compte els següents criteris:

• Per aprovar l'assignatura s'ha de treure una Nota Final superior o igual a 5 (cinc).

• Si la nota de l'eix d'àlgebra lineal era menor a 5, en el període d'exàmens del 2on trimestre (convocatòria ordinària de març) l'estudiant podrà examinar-se també de tots els continguts de l'eix d'àlgebra lineal (blocs 1, 2, 3 i 4).

En cas que es suspengui o no es presenti a l'examen de la convocatòria ordinària de març, l'alumne es podrà presentar a la convocatòria de setembre, a un examen final (tots els blocs de continguts) dels dos eixos. Si s'ha aprovat un dels eixos, només caldrà examinar-se de l'eix suspès

5. Bibliografia i recursos didàctics

5.1. Bibliografia bàsica

• G. STRANG, Linear Algebra and its Applications, Harcourt Brace Jovanovich International Edition, 1986. 
   
• F. CEDO i V. GISIN, Àlgebra Bàsica, Manuals de la UAB, 1997. 
   
• I.V. PROSKURIAKOV, 2000 Problemas de Álgebra Lineal, Ed. Reverté, 1991. 
   
• J.R. EVANS, E. MINIEKA, Optimization Algorithms for Networks and Graphs, Marcel Dekker, 1992. 
   
• R. BHARATH, Computers and Graph Theory,Ellis Horwood, 1991.
   
• J. FÀBREGA, Teoria de Grafs,Edicions de la UPC, 1997.
• J.A. BONDY & U.S.R. MURTY, Graph Theory with Applications (http://www.ecp6.jussieu.fr/pageperso/bondy/books/gtwa/gtwa.html )

5.2. Bibliografia complementària
 

• M. CASTELLET i I. LLERENA, Àlgebra Lineal i Geometria, Manuals de la UAB, 1990. 
   
• F.R. GANTMACHER, Théorie des Matrices,Editions J. Gabay, 1990. 
   
• P. HALMOS, Finite-Dimensional Vector Spaces,Springer Verlag. 
   
• AUBANELL, A. BENSENY i A. DELSHAMS, Útiles Básicos de Cálculo Numérico, Ed. Labor, 1993. " W. K. NICHOLSON, Algebra Lineal con aplicaciones, Mc Graw Hill, 2003. 
   
• J.M. BASART i MUÑOZ, Grafs: Fonaments i Algorismes,Manuals de la UAB, 13, 1994. 
   
• M. BRUNAT BLAY, Combinatoria i Teoria de Grafs,Edicions de la UPC. 
   
• X. FRANCH GUTIÉRREZ, Estructuras de Datos, Edicions UPC, 1994. 
   
• J. GIMBERT, R. MORENO, J.M. RIBÓ i M. VALLS, Apropament a la Teoria de Grafs i als seus Algorismes, EINES 23, 1998. 
   
• TUCKER, Applied Combinatorics, Wiley, 1995.

5.3. Recursos didàctics

A cada sessió de teoria li correspondrà una material docent que el professor lliurarà l'alumne a través de l'Aula Global. 
Per a cada sessió de problemes hi haurà una col·lecció de problemes que el professor lliurarà l'alumne a través de l'Aula Global abans de la realització de la pràctica.

6. Metodologia

A primer curs del grau tenim dos grups de teoria. Aquests grups de teoria es desdoblen en 3 grups de pràctiques i, al seu torn, cada grup de pràctiques es desdobla en dos seminaris de la meitat dels estudiants.

El fet de diferenciar entre tres tipus de sessions ens permetrà potenciar i avaluar les diverses competències que pretenem que assoleixin al llarg de l'assignatura. En això cal emfatitzar en el fet que les sessions de seminaris afavoreixen fortament l'assoliment de competències transversals.
 

Sessions plenàries:

Es tracta de divuit sessions de dues hores de duració on assisteix tot el grup. El pes de la sessió el porta el professor que es dedicarà a explicar en pissarra els conceptes teòrics de l'assignatura per poder-los aplicar desprès a la pràctica. El professor s'encarregarà de proposar i resoldre exemples de problemes tipus per tal de clarificar la teoria i per tal que els estudiants tinguin una primera aproximació a allò que es trobaran a la classe de problemes.

Eix I: Àlgebra lineal

• Sessió 1: Presentació de l'assignatura. Nombres complexes. Funcions.
• Sessió 2: Vectors i matrius. Aplicacions lineals.
• Sessió 3: Geometria dels sistemes d'equacions lineals. Resolució de sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss.
• Sessió 4: Descomposició LU. Càlcul de la matriu inversa.
• Sessió 5: Els espais vectorials i els seus subespais. Els quatre subespais fonamentals. Independència lineal. Bases.
• Sessió 6: Els quatre subespais fonamentals (continuació).
• Sessió 7: Determinants, aplicacions. Canvis de base.
• Sessió 8: Espais vectorials Euclidians. Ortogonalització. El mètode de Gram-Schmidt. Matrius ortogonals, rotacions.
• Sessió 9: Valors i vectors propis. Diagonalització.

• Sessió 10: Diagonalització. Matrius simètriques.

Eix II: Teoria de grafs i optimització en xarxes 

• Sessió 11: Introducció. Grafs i subgrafs. Models de grafs. 
• Sessió 12: Grafs planaris i grafs duals. Representació de grafs en un ordinador.  
• Sessió 13: Arbres. Cerques.  
• Sessió 14: Arbres de cost mínim. Connectivitat.  
• Sessió 15: Grafs Eulerians. Grafs Hamiltomians.  
• Sessió 16: Camins i cicles de cost mínim.  
• Sessió 17: Recobriments i Coloració de grafs.  
• Sessió 18: Xarxes de transport i comunicacions
• Sessió 19: Optimització de Fluxos en Xarxes.

Sessions de problemes:

Són setze sessions d'una hora i mitja (o una hora) de duració amb trenta estudiants en les quals el professor de pràctiques proposa una sèrie de problemes a realitzar d'una col·lecció que els estudiants tindran prèviament i deuen haver preparat. La dinàmica general d'aquestes sessions és la següent: En primer lloc, el professor realitza un exercici típic per tal de recordar els conceptes teòrics que s'apliquen i donar un mètode de resolució a seguir. Desprès, en els problemes successius són els estudiants els que resolen els problemes i surten a la pissarra per tal d'explicar els seus companys com ho han fet. Tant els estudiants com el professor han de verificar que el problema ha estat ben resolt i poden proposar qüestions.

Eix I: Àlgebra lineal 
 

• Sessió 1:  Números complexos. Funcions. Vectors i matrius. Interpretació de les matrius com un cas particular d'aplicacions lineals.
• Sessió 2: Resolució de sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss. Descomposició LU.
• Sessió 3: Càlcul dels quatre subespais fonamentals.
• Sessió 4: 1r control de problemes.
• Sessió 5: Determinants. Canvis de base.
• Sessió 6: Ortogonalització. El mètode de Gram-Schmidt.
• Sessió 7: Valors i vectors propis. Matrius ortonormals, rotacions

• Sessió 8: 2n control de problemes.

Eix II: Teoria de grafs i optimització en xarxes

En aquest bloc algunes de les sessions es realitzaran amb l'ajut d'un ordinador. Per a la realització d'aquestes l'alumne haurà de realitzar un estudi previ abans de realitzar la sessió. Durant la sessió, l'alumne haurà de ser capaç d'analitzar els resultats obtinguts mitjançant les simulacions. Al finalitzar la sessió, l'alumne haurà d'entregar un informe al professor.

• Sessió 9: Problemes de principi de les mans encaixades, d'isomorfismes en grafs i el mètode del cercle-corda. 
• Sessió 10: Pràctica d'ordinador sobre arbres i arbres generadors.  
• Sessio 11: Problemes sobre grafs Eulerians i Hamiltonians. 
• Sessió 12: Pràctica d'ordinador sobre camins i cicles de cost mínim.  
• Sessió 13: Pràctica d'ordinador sobre coloració de grafs.  

• Sessió 14: Pràctica d'ordinador sobre optimització de fluxos en xarxes.

Sessions de seminaris:

Aquestes són vint sessions en petit grup, màxim quinze estudiants, d'una hora de duració. En aquestes sessions es realitzen diferents tipus d'activitats guiades pel professor que ha impartit les sessions plenàries.

Eix I: Àlgebra lineal 

• Sessió 1: Aplicacions, exemples pràctics i problemes resolts de forma conjunta sobre la interpretació geomètrica dels sistemes d'equacions lineals. Resolució de qüestions que plantegen els propis estudiants.
• Sessió 2: Càlcul de la matriu inversa.  
• Sessió 3: Independència lineal y rang d'un sistema. Bases. 
• Sessió 4: Càlcul dels quatre subespais fonamentals. Bases. Resolució de qüestions que plategen els propis estudiants
• Sessió 5: 1r control de teoria.  
• Sessió 6: Canvis de base. 
• Sessió 7: Gram-Schmidt, ortogonalització.  
• Sessió 8: Matrius ortogonals, rotacions.
• Sessió 9: Diagonalització.Matrius simètriques. 

• Sessió 10 [S(10)]: 2n control de teoria.

Eix II: Teoria de grafs i optimització en xarxes 
 

• Sessió 11: Aplicacions, exemples pràctics i problemes resolts de forma conjunta de les sessions de teoria 10 i 11. Resolució de qüestions que plantegen els propis estudiants. 
• Sessió 12: Aplicacions, exemples pràctics i problemes resolts de forma conjunta del tema tema d'arbres, arbres generadors, i connectivitat. 
• Sessió 13: Aplicacions, exemples pràctics i problemes resolts del tema Eulerià i Hamiltonià.  
• Sessió 14: Aplicacions, exemples pràctics i problemes resolts del tema de camins i cicles de cost mínim. El Problema del Viatjant. Algorisme de Branch & Bound.  
• Sessió 15: Control de teoria.  
• Sessió 16: Aplicacions, exemples pràctics i problemes resolts de forma conjunta a la pissarra sobre coloració de grafs.  
• Sessió 17: Aplicacions, exemples pràctics i problemes resolts de la teoria de grafs a les xarxes de comunicacions.  
• Sessió 18: Aplicacions, exemples pràctics i problemes resolts de forma conjunta de la teoria d'optimització de fluxos en xarxes.  
• Sessió 19: Repàs general a tots els conceptes que s'han vist a classe. Resolució de qüestions que plantegen els propis estudiants.  

• Sessió 20: Control de teoria.

7. Programació d'activitats

Els horaris de classe, i el detall sobre si cada sessió serà de teoria de pràctiques o seminaris es troba publicat a l'apartat "Calendari i Horaris" de la web de l'ESUP http://www.upf.edu/esup