Curs 2010-2011

Equacions Diferencials (21602)

Titulació/estudi: Grau en Enginyeria en Sistemes Audiovisuals
Curs: 1r.
Trimestre: 3r
Nombre de crèdits ECTS: 4 crèdits
Hores dedicació estudiant: 100 hores
Llengua o llengües de la docència: Castellà
Professors: Edoardo Provenzi i Vanel Lazcano 

 

1. Presentació de l'assignatura

Aquesta assignatura donarà als estudiants els conceptes bàsics relacionats amb les equacions diferencials ordinàries (EDO) i parcials (EDP). En concret, es posarà especial èmfasi en les aplicacions de modelització, per remarcar la importància no només teòrica d'aquests tipus d'equacions.

A continuació, es presenta el resum dels temes que s'ensenyaran al llarg de l'assignatura:

  1. Presentació del concepte d'equació diferencial: notes històriques, definicions, terminologia, problemes de valor inicial;
  2. Les EDO en variables separables: teoria subjacent i exercicis. Exemples de modelització:
  • Dinàmica de poblacions i models logístics;
  • Caiguda d'un cos al buit i a l'aire;
  • Datació de materials per radiocarboni;
  • Desintegracions radioactives;
  • La "catenària" com una configuració d'equilibri d'una corda lligada pels extrems;
  • La llei de Weber-Fechner sobre la percepció sensorial humana.
  1. Les EDO lineals de primer ordre autònomes i no autònomes: teoria subjacent i exercicis. El concepte de linealització. Exemples de modelització:
  • Circuits elèctrics RL i RC en sèrie;
  • Llei de Newton sobre el refredament.
  1. Les EDO lineals de segon ordre: teoremes estructurals. Les EDO lineals homogènies en coeficients constants: mètode de solució a través del polinomi característic associat. Les EDO no homogènies: mètode de similitud. Exemples de modelització:
  • Sistemes massa-molla: moviment lliure, amortit (sobreamortits, subamortits i crítics), forçat;
  • Circuits RLC en sèrie;
  • La ressonància i els batements: afinació d'instruments musicals i receptors radiofònics.
  1. Solucions en sèrie de potències. Exemple important: l'equació de Legendre.
  2. Mètodes numèrics per a la resolució de les EDO:
  • Mètode(s) d'Euler;
  • Mètode de Heun (predictor-corrector);
  • Mètode de Runge-Kutta.
  1. Les EDP: es presentaran els conceptes bàsics que tenen relació amb les condicions de contorn (Dirichlet o Neumann) i es discutiran les equacions en derivades parcials clàssiques:
  • L'equació d'ona (o d'Alembert);
  • L'equació del potencial (o de Laplace);
  • L'equació de la calor-difusió.

En concret, es mostrarà la tècnica de resolució per "separació de les variables" en el cas de l'equació de la calor amb condicions al contorn estacionàries i el seu vincle amb les sèries de Fourier.

L'objectiu principal de l'assignatura és que l'estudiant entri en contacte amb les tècniques de modelització a través del càlcul integro-diferencial que l'estudiant ha après a les assignatures de càlcul anteriors. 

Aquestes tècniques tenen un camp d'aplicació pràcticament universal que l'estudiant podrà apreciar al llarg dels seus estudis.

 

2. Competències a assolir en l'assignatura

Competències generals

Competències específiques

Instrumentals

1. Capacidad de comprender y analizar enunciados matemáticos.

2. Capacidad de identificar la metodología adecuada para analizar un problema i encontrar su solución.

3. Habilidad de expresar ideas y conceptos matemáticos de forma oral y escrita de manera precisa.

4. Capacidad de abstracción.


Interpersonals

5. Capacidad de trabajar en equipo tanto para resolver problemas como para profundizar contenidos teóricos.

6. Capacidad de comunicar ideas de forma precisa, tanto de forma oral como escrita.


Sistèmiques

7. Capacidad de trabajar de forma autónoma para resolver un problema.

8. Capacidad de buscar las soluciones más adecuadas según las características de cada contexto.

9. Capacidad de inferir nociones matemáticas.

10. Acostumbrarse a la comprobación y interpretación de las soluciones, no olvidándose de los casos particulares.

 

1. Capacidad de identificar y justificar la aplicación del modelo matemático adecuado para analizar un problema y encontrar su solución.

2. Habilidad de expresar ideas y conceptos matemáticos de forma oral y escrita de manera precisa.

3. Capacidad de entender y saber reproducir demostraciones teóricas.

4. Capacidad de resolver las ecuaciones diferenciales presentadas durante el curso.

5. Capacidad de modelar un problema en el cual aparecen una magnitud y su rapidez de variación a través de una ecuación diferencial.

6. Capacidad de utilizar los métodos de aproximación presentados para resolver ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver de forma analítica.

7. Saber reconocer la estructura de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales fundamentales y su significado.

 

 

3. Continguts

Bloc 1

Tema 1.

Presentación del concepto de ecuación diferencial: notas históricas, definiciones, terminología, problemas de valor inicial;

Tema 2.

EDOs en variables separables: teoría subyacente y ejercicios. Ejemplos de modelado:

  • Dinámica de poblaciones y modelos logísticos;
  • Caída de un cuerpo en el vacío y en el aire;
  • Fechado de materiales con radiocarbono;
  • Desintegraciones radiactivas;
  • La 'catenaria' como configuración de equilibrio de una cuerda atada en sus extremos;
  • La ley de Weber-Fechner sobre la percepción sensorial humana.

Bloc 2

EDOs lineales del primer orden autónomas y no autónomas: teoría subyacente y ejercicios. Linealización. Ejemplos de modelado:

  • Circuitos eléctricos RL y RC en serie;
  • Ley de Newton sobre el enfriamiento.

Bloc 3

Tema 4. EDOs lineales del segundo orden: teoremas estructurales. EDOs lineales homogeneas en coeficientes constantes: método de solución a través del polinomio característico asociado. EDOs no homogeneas: método de similitud. Ejemplos de modelado:

  • Sistemas muelle y masa: movimiento libre, amortiguado (sobre, sub y crítico), forzado;
  • Circuitos RLC en serie;
  • La resonancia y los batimientos: afinación de instrumentos musicales y receptores radiofónicos.

Bloc 4

Tema 5. Soluciones en serie de potencias. Ejemplo notable: la ecuacion de Legendre.

Bloc 5

Tema 6. Métodos numéricos para la resolución de EDOs:

  • Método(s) de Euler;
  • Método de Heun (predictor-corrector);
  • Método de Runge-Kutta.

Bloc 6

Tema 6. EDPs: se presentarán solo los conceptos básicos sobre las ecuaciones en derivadas parciales más importantes:

  • Ecuación de onda (o de d'Alembert);
  • Ecuación del potencial (o de Laplace);
  • Ecuación del calor-difusión.

 

4. Metodologia

Durante cada bloque de argumentos teóricos, se propondrán ejercicios de repaso y de consolidación.

La resolución de estos ejercicios servirá al estudiante para testear su compresión de los argumentos presentados. Las horas de dedicación varían de persona a persona.

Durante las horas de seminarios los estudiantes serán invitados a presentar las soluciones de los ejercicios propuestos y a discutir con los docentes las eventuales dudas o dificultades que han tenido durante la resolución de los ejercicios.

Las horas de practicas serán dedicadas mayoritariamente a problemas de modelado a través de las ecuaciones diferenciales presentadas durante las clases de teoría. El estudiante podrá apreciar la versatilidad de las ecuaciones diferenciales examinando problemas prácticos provenientes de la física, ingeniería, geometría, biológica, electrónica, economía, psicofísica.

 

5. Avaluació

La asignatura se evalúa a través de dos exámenes parciales, ambos escritos. El primer parcial se hará durante la primera semana de Mayo y el segundo al final del curso. Los exámenes consisten en ejercicios relacionados con los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales presentados durante la asignatura. La puntuación de cada ejercicio se notificará antes de empezar el examen.

Importante: para considerar aprobada la asignatura el estudiante tendrá que tener una nota superior o igual a 5 (sobre la nota máxima de 10) en ambos parciales. De forma que si en alguno de los parciales el estudiante no llega a la nota de 5 (como mínimo), la asignatura no se considerará aprobada.

En septiembre habrá un examen de recuperación para los estudiantes que no han aprobado alguno de los parciales.


6. Bibliografia

Apuntes por parte de los docentes.

 G. F. SIMMONS: Ecuaciones diferenciales, Con aplicaciones y notas históricas, Ed. McGraw Hill, 1993.

 S. G. KRANTZ: Differential equations demystified, Ed. McGraw Hill, 2005.

 M. BRAUN: Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, 1990.

 D. G. ZILL: Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, International Thomson Editores, 1997.

 M. R. SPIEGEL: Ecuaciones diferenciales aplicadas, Prentice Hall Hispanoamericana, 1983.

 R. COURANT, F. JOHN: Introducción al cálculo y al análisis matemático Vol. 2, Ed. Limusa, Grupo Noriega Editores, 1999.

 A. QUARTERONI, F. SALERI: Scientific computing with MATLAB and Octave, Springer, 2006.