Curso 2015-2016
Algebra Lineal y Matemática Discreta
| Titulación: | Código: | Tipo: |
| Grado en Ingeniería Informática | 21404 | Básica 1º curso |
| Grado en Ingeniería Telemática | 21294 | Básica 1º curso |
| Grado en Ingeniería en Sistemas Audiovisuales | 21593 | Básica 1º curso |
| Créditos ECTS: | 8 | Dedicación: | 200 horas | Trimestre: | 1º y 2º |
| Departamento: | Dpto. de Tecnologías de la Información y las Comunicaciones |
| Coordinador: | Vanesa Daza |
| Profesorado: | Vanesa Daza, Lu�s Ferraz, Gabriela Ghimpeteanu, Raquel Gil, Nikolaos Makriyannis, Esmeralda Ruiz, Javier V�zquez |
| Idioma: | Vanesa Daza (CAT) Lu�s Ferraz (CAT) Gabriela Ghimpeteanu (CAST) Raquel Gil (CAT) Nikolaos Makriyannis CAST) Esmeralda Ruiz (CAT) Javier V�zquez (CAT) |
| Horario: | |
| Campus: | Campus de la Comunicación - Poblenou |
La
asignatura �lgebra Lineal y Matem�tica Discreta es una de las
asignaturas de fundamentos matem�ticos que se cursa dentro de los
estudios del Grado en Ingenier�a en Sistemas Audiovisuales , del Grado
en Ingenier�a Telem�tica y del Grado en Ingenier�a Inform�tica. En estos grados, �lgebra Lineal y Matem�tica Discreta imparte en el
primer y segundo trimestres del primer a�o de los estudios y es una
asignatura b�sica de 8 cr�ditos ECTS.
Parte
de los conceptos matem�ticos que los estudiantes han trabajado en la
programaci�n del Bachillerato y los consolida y ampl�a. Junto
con las otras asignaturas de fundamentos matem�ticos, proporcionar� a
los estudiantes las herramientas y la base matem�tica para trabajar los
conceptos propios del grado. En
el presente Plan Docente se detallar�n las competencias y capacidades a
que conduce el aprendizaje de la asignatura, donde paralelamente al
desarrollo y estudio de los bloques de contenidos te�ricos en que est�
organizada la asignatura, juegan un papel fundamental los m�dulos pr�cticos y actividades asociadas basadas en ejercicios y problemas,
donde se pretende consolidar la comprensi�n de los conceptos y t�cnicas
adquiridas.
La
asignatura est� estructurada en dos grandes ejes: el primero dedicado a
aspectos fundamentales del �lgebra Lineal y el segundo dedicado a
algunos �mbitos fundamentales de la Matem�tica Discreta de gran
aplicabilidad en las Ingenier�as relacionadas con las TIC, como ser�an
la Teor�a de Grafos o la Aritm�tica. De
manera m�s detallada, el primer eje est� enfocado al aprendizaje de:
(i) las ideas b�sicas del �lgebra lineal: espacios y subespacios
vectoriales, independencia lineal, dimensi�n, bases, aplicaciones
lineales, determinantes, etc., (II) la soluci�n de sistemas lineales, (III) valores y vectores propios. La herramienta o idea inicial a partir de la cual se desarrollar�n
todas estas competencias es la soluci�n de sistemas lineales por el
m�todo de eliminaci�n de Gaus.
El
segundo eje est� dedicado principalmente a desarrollar las ideas
esenciales de la Teor�a de Grafos, con algunas notas de combinatoria y
algoritmos de Optimizaci�n en Redes de transporte. Contribuye as� al aprendizaje de algoritmos importantes en la
formaci�n de un ingeniero, como por ejemplo el algoritmo de Dijkstra o
el algoritmo de Ford-Fulkerson, sirviendo adem�s de complemento a otras
asignaturas.
En
esta asignatura se pretende aportar formaci�n matem�tica y una mayor
madurez en la capacidad de razonamiento del estudiante, potenciando su
capacidad de abstracci�n. La
asignatura est� enfocada al aprendizaje de un conjunto de capacidades y
estrategias que permitan al alumno analizar un problema, buscar por un
modelo matem�tico para describirlo, resolverlo y analizar la soluci�n
obtenida.
Los
conocimientos previos que presupone esta asignatura son los propios de
una base matem�tica de nivel de bachillerato, en particular nociones y
procedimientos b�sicos de c�lculo, geometr�a y �lgebra lineal, as� como
una cierta familiarizaci�n con la aritm�tica de n�meros complejos. Al
tratarse de una de las dos asignaturas (junto con C�lculo y M�todos
Num�ricos) de Matem�ticas del primer y segundo trimestre del primer
curso de los tres grados, se reforzar� a los estudiantes que presentan
carencias en matem�ticas elementales con ejercicios complementarios con
el fin de conseguir una cierta nivelaci�n de todos los estudiantes.
Para
un buen seguimiento del itinerario formativo planificado en esta
asignatura, se espera del estudiante que entienda que el aprendizaje en
esta materia se basa en el propio trabajo y el deseo de aprender y
entender. El aprendizaje de la asignatura le reforzar� el dominio del lenguaje cient�fico y el razonamiento abstracto. Se
le pide la autoexigencia en los razonamientos y la elaboraci�n de
trabajo, as� como la capacidad de esfuerzo y la participaci�n
constructiva.
| Competencias generales | Competencias espec�ficas |
|---|---|
| Instrumentales 1. Capacidad de comprender y analizar enunciados matem�ticos. 2. Capacidad de identificar la metodolog�a adecuada para analizar un problema y encontrar la soluci�n. 3. Capacidad para aplicar los conocimientos al an�lisis de situaciones y la resoluci�n de problemas. 4. Capacidad de abstracci�n. 5. Capacidad de sistematizaci�n. Sist�micas 6. Capacidad para progresar en los procesos de formaci�n y aprendizaje de manera aut�noma y continua. 7. Capacidad de motivaci�n por la calidad y por el logro. 8. Capacidad para buscar soluciones m�s adecuadas seg�n las caracter�sticas de cada problema/situaci�n/contexto 9. Capacidad para inferir nociones matem�ticas. |
Eje de �lgebra lineal: 1. Entender el �lgebra y la geometr�a b�sica de los n�meros complejos. 2. Dominar los conceptos de vector y matriz y las operaciones con vectores y matrices. 3. Conocer la geometr�a de los sistemas lineales, su resoluci�n, los conceptos de espacio vectorial y cambios de base. 4. Comprensi�n y dominio del m�todo de eliminaci�n Gaussiana para la resoluci�n de sistemas de ecuaciones lineales. 5. Entender el concepto de espacio vectorial. 6. Entender el concepto de base de un espacio vectorial. 7. Comprensi�n de los cuatro subespacios vectoriales fundamentales. 8. Comprensi�n del concepto y t�cnica de los cambios de base. 9. Entender los conceptos de ortonormalizaci�n de una base, en particular dominio del m�todo de Gram -Schmidt. 10. Comprensi�n de las rotaciones y transformaciones b�sicas. 11. Dominio del concepto de valor y vector propio. 12. Ser capaz de aplicar las t�cnicas de diagonalizaci�n de matrices. 13. Estudiar los valores y vectores propios, las matrices sim�tricas y su diagonalizaci�n. Eje de Matem�tica Discreta : 14. Dominar los diferentes modelos de grafos 15. Estudio de las propiedades caracter�sticas de los grafos, tales el isomorfismo, planaritat, conexidad, y el principio de las manos encajadas. 16. Comprensi�n del concepto de �rbol. 17. Estudio de diferentes algoritmos de b�squeda. 18. Dominio del concepto de �rbol generador y de algoritmos para calcular. 19. Estudio de los caminos de coste m�nimo y del algoritmo de Dijkstra. 20. Estudio de propiedades b�sicas sobre grafos tales como coloraciones, conjunto independientes, recubrimientos, caminos y ciclos hamiltonianos. |
Durante el transcurso del curso se har� una evaluaci�n continua a trav�s de las actividades de aprendizaje propuestas. Se pretende con ello una efectiva retroalimentaci�n informativa para
los estudiantes, ayudar a la verificaci�n de la adquisici�n de las
diferentes competencias detectando a tiempo dificultades y
proporcionando feedback a los estudiantes para orientar su aprendizaje e
introducir las modificaciones necesarias.
Estos mecanismos de evaluaci�n, est�n estructurados en dos grandes
ejes, de acuerdo con la estructura de aprendizaje de la asignatura:
Eje de �lgebra lineal
- Control Parcial: control de ejercicios y problemas de los conceptos explicados en las clases de teor�a. El control se realizar� en la semana 6 y representar� el 20% de la calificaci�n del eje de �lgebra Lineal. Este control no es recuperable en julio.
- Control Final: prueba donde se eval�an los bloques de contenidos del eje de �lgebra Lineal. Constar�
de ejercicios y problemas representativos donde se deber�n aplicar
todos los conceptos de teor�a y demostrar un dominio de las competencias
desarrolladas en el eje de �lgebra lineal. Representa un 80% de la calificaci�n del eje de �lgebra Lineal. En caso contrario, el estudiante dispone de una segunda oportunidad en el mes de julio.
Por tanto, la nota correspondiente al eje de �lgebra Lineal se calcula como
20% (control parcial) + 80% (control final) = nota eje de �lgebra Lineal
Esta nota debe ser al menos de 5 para aprobar el eje de �lgebra Lineal.
La participaci�n en las sesiones de seminario ser� evaluada. Aquellos alumnos que participen de manera activa pueden obtener hasta un punto extra de la calificaci�n final del eje.
Eje de Matem�tica Discreta
�
Control Parcial: control de ejercicios, problemas, y preguntas te�ricas
para hacer un seguimiento de los conceptos explicados en las clases de
teor�a. El control representar� el 20% de la calificaci�n del eje de matem�tica discreta. Los bloques de contenido evaluables durante este primer control ser�n el 1 y el 2. Este control no es recuperable en julio.
�
Control Final: prueba donde se eval�an los bloques de contenidos 1, 2,
3, 4 y 5, es decir, sobre todo el eje de Matem�tica Discreta. Constar�
de ejercicios y problemas representativos donde se deber�n aplicar
todos los conceptos de teor�a y demostrar un dominio de las competencias
desarrolladas en el eje de matem�tica discreta. Representa un 80% de la calificaci�n de matem�tica discreta. En caso contrario, el estudiante dispone de una segunda oportunidad en el mes de julio.
Por tanto, la nota correspondiente al eje de matem�tica discreta se calcula como
20% (control parcial) + 80% (control final) = nota eje de matem�tica discreta
Esta nota debe ser al menos de 5 para aprobar el eje de matem�tica discreta.
La participaci�n en las sesiones de seminario ser� evaluada. Aquellos alumnos que participen de manera activa pueden obtener hasta un punto extra de la calificaci�n final del eje.
La Nota Final de la asignatura �lgebra Lineal y Matem�tica Discreta obtiene haciendo la media de:
- la nota del eje de �lgebra lineal, siempre que �sta sea mayor o igual a 4.5,
- la nota del eje de matem�tica discreta, siempre que �sta sea mayor o igual a 4.5.
Adem�s, se tienen en cuenta los siguientes criterios:
- Para aprobar la asignatura se debe conseguir una Nota Final superior o igual a 5.
- La recuperaci�n del control final de cada uno de los ejes se realizar� en la semana de julio programada para estas tareas. Para
calcular la nota final de cada uno de los ejes se mantendr�n las notas
no recuperables del resto de actividades de la asignatura.
Bloques de contenido
La asignatura est� estructurada cuatro bloques de contenidos para el eje de �lgebra Lineal y cinco bloques de contenido para el eje de Matem�tica
discreta:
Eje I: �lgebra lineal
- Bloque de contenido 1. Resoluci�n de Sistemas de ecuaciones lineales.
- Bloque de contenido 2. Los espacios vectoriales y sus subespacios.
- Bloque de contenido 3. Los espacios vectoriales eucl�deos.
- Bloque de contenido 4. diagonalizaci�n
Eje II: Matem�tica Discreta
- Bloque de contenido 5. Elementos de teor�a de grafos.
- Bloque de contenido 6. �rboles y grafos dirigidos ac�clicos
- Bloque de contenido 7. Caminos y otras propiedades de los grafos.
- Bloque de contenido 8. Optimizaci�n de flujos en redes
- Bloque de contenido 9. Herramientas de conteo
Organizaci�n y concreci�n de los contenidos
Bloque de contenido 1. Resoluci�n de Sistemas de ecuaciones lineales.
| Conceptos | Procedimientos |
|---|---|
|
1. N�meros complejos |
- Propiedades algebraicas y geom�tricas b�sicas de los complejos. - Diferenciaci�n de los diferentes tipos de funciones. -Demostraciones por reducci�n al absurdo. -Operaciones con vectores y matrices. -El m�todo de Gauss. -C�lculo de la matriz inversa. |
Bloque de contenido 2. Los espacios vectoriales y sus subespacios
| Conceptos | Procedimientos |
|---|---|
|
1. Los subespacios vectoriales |
- C�lculo de los cuatro subespacios fundamentales de A |
Bloque de contenido 3. Los espacios vectoriales eucl�deos
| Conceptos | Procedimentos |
|---|---|
|
1. El Determinante |
- C�lculo de determinantes. - Cambios de base. - El m�todo de Gram-Schmidt. |
Bloque de contenido 4. Diagonalizaci�n
| Conceptos | Procedimentos |
|---|---|
|
1. Aplicaciones lineales 2. Valores y vectores propios 2. diagonalizaci�n 3. Matrices sim�tricas. |
- El n�cleo y la imagen de una aplicaci�n lineal A |
Bloque de contenido 5. Elementos de teor�a de grafos
| Conceptos | Procedimentos |
|---|---|
|
1. Grafos. |
- Estrategias de utilizaci�n de caracterizaci�n, propiedades y igualdades sobre grafos para deducir otras propiedades. |
Bloque de contenido 6. �rboles y grafos dirigidos ac�clicos
| Conceptos | Procedimentos |
|---|---|
|
1. Definiciones y resultados b�sicos. Caracterizaciones. �rboles con ra�z.
2. B�squedas en profundidad y en extensi�n. 3. �rboles generadores. �rboles generadores de coste m�nimo. 4. Grafos dirigidos ac�clicos |
Caracterizaciones. |
Bloque de contenido 7. Caminos y otras propiedades de los grafos
| Conceptos | Procedimentos |
|---|---|
|
1. Caminos, conexidad. caminos de coste m�nimo. |
- Algoritmo de Dijkstra. |
Bloque de contenido 8. Optimizaci�n de Flujo en redes
| Conceptos | Procedimentos |
|---|---|
|
1. Redes de transporte y comunicaciones. |
- Algoritmo de Ford y Fulkerson - Algoritmo para encontrar un emparejamiento m�ximo |
Bloque de contenido 9. Conteo
| Conceptos | Procedimentos |
|---|---|
|
1. Herramientas b�sicas de conteo |
- Inducci�n - Reducci�n al absurdo |
En el primer curso de los grados tenemos dos grupos de teor�a. En algunos casos, dependiendo del n�mero de alumnos matriculados, se puede desdoblar alg�n grupo de teor�a, de manera que se realizan de manera paralela dos subgrupos de un mismo grupo (pe los subgrupos 1A y 1B para el grupo 1). Cada grupo de teor�a se divide en 3 grupos de pr�cticas y, a su vez, cada grupo de pr�cticas se divide en dos seminarios. El hecho de diferenciar entre tres tipos de sesiones diferentes nos permitir� potenciar y evaluar las diversas competencias que pretendemos que alcancen a lo largo de la asignatura. En esto hay que enfatizar en el hecho de que las sesiones de seminarios favorecen fuertemente el logro de competencias transversales.
Sesiones plenarias :
Se trata de dieciocho sesiones de dos horas de duraci�n donde asiste todo el grupo. El
peso de la sesi�n lo lleva el profesor que se dedicar� a explicar en
pizarra los conceptos te�ricos de la asignatura para poder aplicarlos
despu�s a la pr�ctica. El profesor se encargar� de proponer y resolver ejemplos de problemas
tipo para clarificar la teor�a y para que los estudiantes tengan una
primera aproximaci�n a lo que se encontrar�n en la clase de problemas.
Eje I: �lgebra lineal
� Sesi�n 1: Presentaci�n de la asignatura. N�meros complejos.
� Sesiones 2 y 3: Geometr�a de los sistemas de ecuaciones lineales. Resoluci�n de sistemas de ecuaciones lineales, M�todo de Gauss
�Sesi�n 4. Matrices i determinantes
� Sesi�n 5: Los espacios vectoriales y sus subespacios. Independencia lineal. Bases.
� Sesi�n 6: Cambios de base. Los cuatro subespacios fundamentales.
� Sesi�n 7: Espacios vectoriales eucl�deos. Ortogonalizaci�n. El m�todo de Gram-Schmidt. Matrices ortogonales, rotaciones.
� Sesi�n 8: Aplicaciones lineales.
� Sesi�n 9: Valores y vectores propios. Diagonalizaci�n.
Matrices sim�tricas.
Eje II : Matem�tica Discreta
Sesi�n 10: Introducci�n. Definici�n y Propiedades b�sicas sobre grafos.
Sesi�n 11: circuitos eulerianos y ciclos hamiltonianos.
Sesi�n 12: grafos planares.
Sesi�n 13: �rboles. �rboles generadores de coste m�nimo.
Sesi�n 14: �rboles arraigados y grafos dirigidos ac�clicos.
Sesi�n 15: b�squedas en grafos
Sesi�n 16: caminos m�nimos y coloraci�n de grafos .
Sesi�n 17: redes de flujo.
Sesi�n 18: conteo : herramientas b�sicas.
Sesssions de problemas:
En
el eje de �lgebra Lineal son seis sesiones de dos horas de duraci�n con
treinta estudiantes en las que el profesor de pr�cticas propone una
serie de problemas a realizar de una colecci�n que los estudiantes
tendr�n previamente y habr�n preparado. La din�mica general de estas sesiones es la siguiente: En primer
lugar, el profesor realiza un ejercicio t�pico para recordar los
conceptos te�ricos que se aplican y dar un m�todo de resoluci�n a
seguir.
En
el eje de matem�tica discreta son doce sesiones de una hora de duraci�n
con treinta estudiantes en las que el profesor de pr�cticas propone una
serie de problemas a realizar de una colecci�n que los estudiantes
tendr�n previamente y habr�n preparado. La din�mica general de estas sesiones es la siguiente: En primer
lugar, el profesor realiza un ejercicio t�pico para recordar los
conceptos te�ricos que se aplican y dar un m�todo de resoluci�n a
seguir.
Sesiones de seminarios:
En el eje de �lgebra Lineal son 4 sesiones de dos horas de duraci�n en peque�os grupos, de unos quince estudiantes. En estas sesiones se realizan diferentes tipos de actividades guiadas por el profesor de seminario. Se propondr�n ejercicios con anterioridad, que los alumnos deber�n preparar para la sesi�n. Al
comenzar la sesi�n les mostrar�n a los profesores responsables de la
sesi�n y trabajar�n en la sesi�n sobre la resoluci�n de estos ejercicios
u otros que deriven de los mismos. No se puede participar en la sesi�n si no se han preparado los ejercicios propuestos para la sesi�n . Los estudiantes pueden participar en la pizarra para explicar a sus compa�eros su resoluci�n.
En el eje de matem�tica discreta son 8 sesiones de una hora de duraci�n en peque�o grupo, de unos quince estudiantes. En estas sesiones se realizan diferentes tipos de actividades guiadas por el profesor de seminario. Se propondr�n ejercicios con anterioridad, que los alumnos deber�n preparar para la sesi�n. Al
comenzar la sesi�n les mostrar�n a los profesores responsables de la
sesi�n y trabajar�n en la sesi�n sobre la resoluci�n de estos ejercicios
u otros que deriven de los mismos. No se puede participar en la sesi�n si no se han preparado los ejercicios propuestos para la sesi�n. Los estudiantes pueden participar en la pizarra para explicar a sus compa�eros su resoluci�n.
Sesssions no presenciales:
Las
sesiones presenciales s�lo representan una parte relativamente peque�a
de lo que representa las horas que el estudiante debe dedicar a la
asignatura. Hay que a�adir pues a �stas, las sesiones no presenciales, que el
estudiante debe aprovechar para captar los conocimientos de las sesiones
plenarias, realizar ejercicios y problemas y aquellas actividades
requeridas para las sesiones por los profesores de la asignatura.
S'ha habilitat una aula a la plataforma Piazza per a fomentar la participaci� entre els estudiants.
Bibliograf�a b�sica (soporte papel y electr�nico)
�D. Lay, �lgebra y sus Aplicaciones, Pearson.
G. Strang, Linear Algebra and its Applications, Harcourt Brace Jovanovich International Edition, 1986. (tambi�n: http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/)
� G. Strang, 18:06 Linear Algebra Course, MIT Open Courseware,
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2005/index.htm
� K.H. ROSEN, Discrete Mathematics and its Applications
� J.KLEINBERG, E. Tardos, Algorithm Design, Addison Wensley 2005.
Bibliograf�a complementaria (soporte papel y electr�nico)
� M. CASTELLET y E. LLERENA, �lgebra Lineal y Geometr�a, Manuales dela UAB, 1990.
� F.R. GANTMACHER, Theorie des Matrices. ediciones J. Gabay, 1990.
� P. Halmos, Finite - Dimensional Vector Spaces, Springer Verlag.
� Aubanell, A. Benseny y A. Delshams, �tiles B�sicos de C�lculo Num�rico, Ed . Labor, 1993.
� WK NICHOLSON, Algebra Lineal con aplicaciones, Mc Graw Hill, 2003.
� J.M. Basart y MU�OZ, Grafos: Fundamentos y Algoritmos, Manuales de la UAB, 13, 1994.
� N.L. BIGGS, Discrete Mathematics
� M. Bruno BLAY, Combinatoria y Teor�a de Grafos, Ediciones de la UPC.
� J. Gimbert, R. MORENO, J.M. RIB� y M. VALLS, Acercamiento a la Teor�a de Grafos y sus Algoritmos, HERRAMIENTAS 23, 1998.
� TUCKER, Applied Combinatorics, Wiley, 1995.
� F. CED� y V. Gisin, �lgebra B�sica, Manuales de la UAB, 1997.
� I.V. PROSKURIAKOV, 2000 Problemas de �lgebra Lineal, Ed. Revert� , 1991.
� J.R. EVANS, E. MINIEKA, Optimization Algorithms for Networks and Graphs, Marcel Dekker, 1992.
� R. Bharathi, Computers and Graph Theory, Ellis Horwood, 1991
� J. F�BREGA, Teor�a de Grafos, Ediciones de la UPC, 1997 .
� J.A. BONDY, U.S.R. Murty, Graph Theory with Applications (http://www.ecp6.jussieu.fr/pageperso/bondy/books/gtwa/gtwa.html
Recursos did�cticos. Material docente de la asignatura
�
Para cada sesi�n de problemas (pr�cticas y seminarios) habr� una
colecci�n de problemas que el profesor entregar� al alumno a trav�s del
Aula Global antes de la realizaci�n de la sesi�n.